与网友在微信上谈多阶曲面

雷明85639720

与网友在微信上谈多阶曲面
雷  明
（二○二一年二月二十四日）

    当有朋友在微信上问了我一个问题时（我记不清是怎么问的了），我就开始了以下的回答：
我回答说：你说错了。高阶曲面都有自已的最大色数，如亏格为0的曲面的色数是小于等于4的，亏格为1的曲面的色数是小于等于7的，亏格为2的曲面的色数可能是小于等于9的，我忘了，你可以用赫候特多阶曲面上的色数公式把2代进去算一下，亏格是几，把几代入，就可求出亏格为几的曲面的色数。
只要是亏格数大于0的曲面上的图，都有可能有色数是5的图。
球面上有几个孔洞，其亏格就是几！
多阶曲面一定是球面上有孔洞的曲面！
多阶曲面就是由球面有洞产生的，比如亏格为1的曲面（轮胎面）就是在球面上穿了一个洞的球面！
我认为把亏格0代入赫渥特公式中，得到色数小于等于4，也可以说是对猜侧的证明。
只能说亏格为0的平面上的图的色数是小于等于4的。而亏格为1的曲面（轮胎面）上的图的色数是小于等于7的。平面与球面的亏格都是0，平面也是一种特殊的曲面。
球面是曲面，与平面是相同的。把一个气球用针扎破，是不是可以拉成一个平面呢？平面的无限远点是不是就是气球被扎破的那个点呢？
再大亏格的曲面上，7种颜色就不够用了！
亏格越大，所用的颜色数越大。
图的亏格的定义是图所能嵌入的曲面的最小亏格。
K4是平面图，既可以嵌入在平面（球面）上，也可以嵌入更高亏格的曲面上，而且有多种嵌入方式，但色数都是4。都不大于各亏格曲面的最大色数。K3,3是非平面图，不能嵌入平面上，只能嵌入到更高亏格的曲面上，但其色数却是2，也不大于非0亏格的曲面的最大色数。所以说虽然平面图的色数不大于4，但不大于4的图却不一定都是平面图。
平面图尽管可以嵌入任何亏格的曲面上，但其中最小的曲面亏格是0，根据图的亏格的定义，所以平面图的亏格是0。
所谓嵌入，是指把图画到曲面上时，除了顶点外，再没有没有边与边相交叉的情况，就叫可嵌入到等亏格的曲面中，否则就是不可嵌入。象非平面图画在平面上一样，一定存在在顶点以外，有边与边相交叉的情况。
亏格为0的曲面是球面和平面，亏格为1的曲面是轮胎面，亏格为2的面是“8”字形曲面，也叫眼镜匡面，总之亏格是几，就是在球体上打几个孔洞后所剩的物体的表面。有几个洞，亏格就是几，球面上没有洞，所以球面的亏格就是0。
温千里问：交叉洞的亏格是？
我回答：曲面的种类非常多。这里的多阶曲面只是曲面的一类，也叫多阶定向曲面，非定向曲面也有很多，如抛物面，双曲面，鞍形面等。但它们也都是可以拉成亏格为的平面的，其亏格也应是0。
有交叉洞的球体表面，也应是一定亏格的曲面。但我一下子又说不上来，其亏格好象就是球面表面的洞口数，但这必须是相交叉洞的洞口数。如两个洞相交叉，可能有3个洞口，也可能有4个洞口，有几个洞口，亏格就是几减1。但不交叉的洞虽有两个洞口，而亏格也只能是1。如何去辨别，用吹烟的办法，从一个洞口吹，若从另一个洞口出烟，这两个洞口的单洞构成的亏格数就是1，若从一个洞口吹烟，从多个洞口出烟，则吹烟洞口加出烟洞口就是交叉洞的总洞口数，构成的多阶曲面的亏格数就是总洞口数减去1，各次吹烟所得亏格数之和就是该曲面的亏格数。
赫渥特多阶曲面上的地图着色公式是可以通过多阶曲面上的欧拉公式推导出来的，公式本身就是一个一元二次不等式的解（正根），所以我认为把亏格0代入公式后的结果是小于等于4的，这就是四色猜测。
关于温千里先生上午提出的交叉洞产生的曲面的亏格是几的问题，再补充说明以下：
一个洞口吹烟一个洞口出烟，这是单洞，产生的亏格数是1，一个洞口吹烟有多个洞口出烟，是多个洞相交叉的结果。有几个洞口出烟，产生的亏格数就是几。特对上午说的进行更正和补充（在整理时对上午所说已进行了改动）。
因为赫渥特的着色公式是可以用多阶曲面上的图的欧拉公式推导出来的，所以我认为，把亏格等于0代入该色数公式中，得到的色数就是小于等于4的，这就也能证明四色猜测是正确的。
刘千栋回答：我认为亏格等于所有的洞口之和减去吹烟的次数。雷老我说的对吗？
雷明回答：对的！但要不包括不穿透洞的洞口。
谢谢刘千栋朋友！

雷  明
二○二一年二月二十四日整理于长安

注：此文已于二○二一年二月二十四日在《中国博士网》上发表过，网址是：