怎样的 n 使得 1/n 的循环节为 a(1)...a(2m)， 且 a(k)+a(m+k) = 9 ？

elim

受网友王守恩新近的一个帖子的启发，提出以下问题：

怎样的 n 使得  (n-1)/n 的循环节为 a(1)...a(2m)， 且 a(k)+a(m+k) = 9  (k=1,2,...,m)？

elim

蔡家雄 发表于 2018-5-18 14:16
首先，确定：n 是什么样子，1/n 才是 纯 循环小数？

接着，是否：弄清 n 是 质数 时的情形？

只要 n 不是 2， 5 的倍速， (n-1)/n 就是纯循环小数.

30/31, 36/37 的循环节依次长 15及3. 所以没有主贴的性质

10000/10001 的循环节是 99990000 但 1001 = 73× 137

elim

当然这跟所论分解有关．但要得到一般的结论，论证不可少．

elim

可以证明 n 具有主贴的性质当且仅当 n 是形如 10^s + 1 的数的因子。

elim

打錯字了 是10不是x

王守恩

蔡家雄 发表于 2018-5-19 20:24
蔡家雄猜想

设 p 是奇素数，

p 是奇素数，满足 1/p 的循环节长度是 p - 1 = 2 d，则 d 个具体数字是 ： (10^d + 1) ÷ p - 1

elim

这里 n 显然是奇数，但不必是素数，

elim

显然偶数长的循环节未必满足主贴要求。

王守恩

elim 发表于 2018-5-20 00:45
显然偶数长的循环节未必满足主贴要求。

主帖：怎样的 n ，使得 1/n 的循环节为 a(1)......a(2m)， 且 a(k)+a(m+k) = 9 。
我想说(说不好,请 elim 改正)：
当 n 是奇素数，且满足  1/n 的循环节为 a(1)......a(2m)，在这里，2m = n - 1，
为减小计算量(这可是书上没有的)，
前半部分具体数字可由下面的算式得出： (10^m + 1) ÷ n  - 1
后半部分具体数字可由  a(k)+a(m+k) = 9 推出。
(至于  a(k)+a(m+k) = 9  书上有说法。)


冯贝叶著《多项式和无理数》

elim

王守恩 发表于 2018-5-19 15:08
主帖：怎样的 n ，使得 1/n 的循环节为 a(1)......a(2m)， 且 a(k)+a(m+k) = 9 。
我想说(说不好,请 e ...

见19楼： 当且仅当 n 可整除某个形如 10^s+1 的数的时候， 1/n 有偶数长循环节 a(1)...a(2m), 且 a(k)+a(m+k) = 9.