x^3+y^3+3xy-1=0 是个什么函数？它的图像与 x+y=0 直线为何如此接近？

天山草@

\(x^3 + y^3 + 3 x y - 1 = 0\) 是一个什么函数？ 它与  \(x + y = 0\) 这条直线为啥会如此接近？





注：\(x^3 + y^3 + 3 x y - 1 =
\frac{1}{2} (x + y - 1) [(x - y)^2 + (x + 1)^2 + (y + 1)^2]\)

luyuanhong

从因式分解 x^3+y^3+3xy-1=(x+y-1)[(x-y)^2+(x+1)^2+(y+1)^2]/2=0 可以看出：

由于在实数范围内恒有 (x-y)^2+(x+1)^2+(y+1)^2＞0 ，所以 x^3+y^3+3xy-1=0 在实数

范围内等价于 x+y-1=0，x^3+y^3+3xy-1=0 在实平面中的图像，就是 x+y-1=0 一条直线。

x+y-1=0 与 x+y=0 这两条直线，互相平行，距离不远，从大尺度来看，自然是非常接近的。  

doletotodole

这个因式分解怎么想出来的?
因式分解有点重要啊.

luyuanhong

doletotodole 发表于 2021-3-23 12:13
这个因式分解怎么想出来的?
因式分解有点重要啊.

有一个常用的因式分解公式

a^3+b^3+c^3-3abc = (a+b+c)[(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2]／2 。

在这个公式中，令 a=x ，b=y ，c=-1 ，就得到

x^3+y^3-1+3xy = (x+y-1)[(x-y)^2+(y+1)^2+(x+1)^2]／2 。

doletotodole

luyuanhong 发表于 2021-3-23 14:25
有一个常用的因式分解公式

a^3+b^3+c^3-3abc = (a+b+c)[(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2]／2 。

谢谢lu教授的指点.

doletotodole

luyuanhong 发表于 2021-3-23 14:25
有一个常用的因式分解公式

a^3+b^3+c^3-3abc = (a+b+c)[(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2]／2 。

今天用这个公式解了一个题, 很有意思.