解决四色问题的方法论

雷明85639720

解决四色问题的方法论
雷  明
（二○二一年四月一日）

1、没有解决不了的问题，也没有克服不了的困难。人常说“世上无难事，只怕有心人”或“世上无难事，只要肯登攀”说的就是这个道理。 还有诸如“办法总比困难多”、“没有过不去的坎”等等，都是同一个意思。可以说人类社会就是在不断的解决一个个的问题或克服一个个的困难中发展和进步起来的。只是不同的问题，解决的周期长短不同罢了。这主要是因为解决不同的问题的周期，是要受社会的经济发展程度和科学技术发展程度的影响的。
2、任何问题的解决不可能只有一种方法。对于同一个问题，不同的人有不同的解决办法，即就是同一个人，对同一个问题，从不同的角度出发，也可以有不同的解决办法，最后都能达到解决同一个问题的目的。只要目的达到了就是正确的，就不应再去追纠你、我、他所用的方法相同与不相同了。但不同的方法所走的每一步，则必须是科学的，实事求是的，经得起检验的。
3、四色问题本来就是从对地图的着色实践中总结出来的，不能再用着色的方法来对其进行证明。在着色实践中，用的是具体的地图的对偶图，且是极大图，但却是一个个的个别的具体图，而不能代表一般，况且地图是无穷多的，永远也是不能着色完的，所以不能再用对具体图的着色的办法来证明四色猜测；而证明时则采用的是非具体的、非3—正则的地图的对偶图，叫做构形。所以构形是非极大的平面图，而且平面图的构形是可以分为可以避免的构形与不可避免的构形之分的。而不可避免的构形却是有限的，这就把一个研究对象是无穷多的无穷问题转化成了研究对象是有限的有穷的问题了。只要解决了这有限个不可避免的构形的4—着色问题，平面图和地图的四色问题也就解决了。
4、不可避免的构形。构形是只有一个顶点未着色的图。未着色的顶点叫待着色顶点，与待着色顶点相邻的顶点叫围栏顶点。只要构形中围栏顶点外的链的连通情况是相同的，不管各链的长短是多少，也不管连通链以外的顶点有多少，着色情况是什么，都是同一类构形，所以构形是能够代表一般的。由于任何平面图中都一定存在着度是小于等于5的顶点，所以以度小于等于5的顶点为待着色顶点的构形就是平面图的不可避免构形。相应的，则以度大于等于6的顶点为待着色顶点的构形就是可以避免的构形。可以看出，对于任意的一个平面图来说，都一定可以把待着色顶点移动到度度是小于等于5的顶点之上的。
5、颜色冲突问题。把围栏顶点已占用完了四种颜色的构形叫做发生了颜色冲突，而把围栏顶点占用颜色数小于4的构形就未发生颜色冲突。看来只有围栏顶点数是小于等于3的构形一定是不会发生颜色冲突的构形，而围栏顶点数是4和5的构形只是有可能会发生颜色冲突的构形，但不一定就一定会发生颜色冲突。未发生颜色冲突的构形的待着色顶点是一定可以着上四种颜色之一的，这是不言而喻的；而发生了颜色冲突现象的构形，则是可以通过对已着色顶点的颜色进行调整，从围栏顶点中空出一种颜色，给待着色顶点着上的。
6、围栏顶点是4的颜色冲突构形，坎泊在1879年早已解决。其原理是这种构形的围栏顶点外，最多只可能有一条连通链，从属于不连通链中的任一个围栏顶点开始交换与其对角顶点的颜色构成的色链，就一定能够空出该围栏顶点所着的颜色来给待着色顶点着上。这是因为四种颜色只能构成一对相反链，而相反链是不能相互穿过的。
7、围栏顶点是5的颜色冲突构形，坎泊已于1879年声称已经解决。但他却只看到了这类构形中不含双环交叉链的一种情况，而没有看到该类构形中还可能含有双环交叉链的另一种情况。而在1890年赫渥特发现了含有双环交叉链的有5个围栏顶点的构形H—图后，人们才发现了坎泊的证明是有错误和漏洞的。后来，有1921年埃雷拉也相继发现了有双环交叉链的构形E—图，越来越多的事实都进一步说明了坎泊的证明是有错误和漏洞的。
8、对于含有双环交叉链的5—轮颜色冲突构形，有一些也是可以连续的移去两个同色（5—轮构形中至少有一种颜色是用了两次的）的构形（如五个“九点形”构形中就有4个是可以连续的移去两个同色的构形），而有些构形则是不可连续的移去两个同色的构形，这样的构形，才是真正的发生了颜色冲突的构形。
9、解决不可连续的移去两个同色的颜色冲突构形的关键是就是要破坏双环交链。不可连续的移去两个同色的颜色冲突构形因含有双环交叉链而产生，那么解决时也就只有破坏双环交叉链了。没有了双环交叉链，构形就自然的转化成了不含双环交叉链的可约构形了。
10、破坏双环交叉链的关链是改变双环交叉链上的四个关键顶点的颜色。在双环交叉链上有两链的共同起始顶点和交叉顶点，以及两链的两个末尾顶点，这四个顶点只要有一个顶点的颜色发生了改变，双环交叉链就发生了破坏，构形就转化成了不含双环交叉链的可约构形了。
11、关键顶点颜色的改变是要有条件的。即构形中要含有经过了关键顶点的环形链。在BAB型的5—轮构形中，如果构形中含有经过了双环交叉链的共同起始顶点或交叉顶点的环形链A—B，则该环形链一定把含有双环交叉链的两个末端顶点的C—D链和其他的C—D链分隔在该环的两侧。这时交换含有双环交叉链的两个末端顶点的C—D链就可以使双环交叉链断开；如果构形中含有经过了双环交叉链的两个末端顶点的环形链C—D，则该环形链也一定把经过了另外两个关键顶点的A—B链分隔在该环的两侧。这时交换经过了任一个关键顶点A的A—B链也可以使双环交叉链断开。以上这样的两种构形都叫含有经过了关键顶点的环形链的构形，解决的办法叫做断链交换法，因为该交换的目的是为了使双环交叉链断开而不是为了空出颜色。
12、含有经过了关键顶点的环形链的构形，又可以分为两种。仍用BAB型的5—轮构形为例来说明，一种是含有A—B环形链的构形，另一种是含有C—D环形链的构形。含有A—B环形链的构形用交换C—D链的办法进行解决，含有C—D环形链的构形用交换A—B链的办法进行解决。
13、不含有经过关键顶点的环形链的构形的解决办法。有含有经过了关键顶点的环形链的构形，就有不含有经过关键顶点的环形链的构形。这样的构形是不可以破环双环交叉链的。由于这种构形又是不能连续的交换两个同色的构形，那么就先只交换一个有关两个同色的链，使构形进行转型，再看转型后的构形属于那一类，再决定解决的办法。由于围栏顶点外没有任何连通链的5—轮构形，转型时，是以4次转型为一个周期的无穷循环转型的构形，而我们现在研究的构形则是一个在围栏顶点外含有多条连通链的构形，没有象围栏顶点外没有任何连通链的5—轮构形那样，不可能有产生无穷循环转型的条件，不可能产生无穷循环的转型，转型次数一定是有限的，且必须在上述5—轮构形第二个循环周期到来之前，即第八次转型到来之前完成转型。即最大转型次数是7次。
14、现在已把各种情况下的不可避免的颜色冲突情况都分析并解决完了，四色问题也就得到了解决。在分析过程中，都是只有两种情况可以考虑，非此即彼，避免了象坎泊证明中那样，产生遗漏的情况发生。说明我们已分析过的不可避免的颜色冲突构形是完备的。除此之外，再也没有别的不可避免的颜色冲突构形了。

15、我对构形的分析如下：
15、1  构形可以分为两种：
⑴  可以避免的构形：围栏顶点数大于等于6的构形（可以不再进行研究）。
⑵  不可避免的构形：围栏顶点数小于等于5的构形。
15、2  不可避免的构形又可以分为两种：
⑴  不会发生颜色冲突的构形：围栏顶点数小于等于3的构形（待着色顶点可直接着上四种颜色之一）。
⑵  可能会发生颜色冲突的构形：围栏顶点数等于4和5的构形。
15、3  可能会发生颜色冲突的构形还可分为两种：
⑴  未发生颜色冲突的构形：围栏顶点占用颜色数小于4（待着色顶点也可直接着上四种颜色之一）。
⑵  发生了颜色冲突现象的构形：围栏顶点占用颜色数等于4。
15、4  发生了颜色冲突现象的构形的解决情况：
⑴  围栏顶点数等于4的颜色冲突构形在1879年坎泊已经解决（已是可约的）。
⑵  围栏顶点数等于5的颜色冲突构形还未得到完全解决。
15、5  围栏顶点数等于5的颜色冲突构形的解决情况：
⑴  不含有双环交叉链的5—轮构形在1879年坎泊也已经解决（也已是可约的）。
⑵  含有双环交叉链的构形却被坎泊遗漏了。
15、6  含有双环交叉链的构形又可分为两种：
⑴  可以连续的移去两个同色的构形，已属于可约构形。
⑵  不可以连续的移去两个同色的构形，未能得到解决，是目前研究四色问题的重点，也是本文研究的重点。
15、7  不可以连续的移去两个同色的5—轮构形，还可以分为两种：
15、7、1  含有经过了关键顶点的环形链的构形：
    该类构形又有以下两种情况：
15、7、1、1  若在BAB型的5—轮构形中含有经过了关键顶点的A—B环形链，交换经过关键顶点的C—D链即可解决问题。埃雷拉E—图就可以这样来解决。
15、7、1、2  若在BAB型的5—轮构形中含有经过了关键顶点的C—D环形链，交换经过关键顶点的A—B链即可解决问题。赫渥特H—图就可以这样来解决。
15、7、1、3  以上两种交换方法叫断链交换法，因为其交换的目的不是为了空出颜色，而是为了使双环交叉链断开。这样的叫法也是为了与坎泊的空出颜色的交换方法相区别。
15、7、2  不含有经过了关键顶点的环形链的构形：
这种构形就不能使用断链交换法了，而只能用转型交换法。最多7次转型，就可以空出颜色给待着色顶点着上。其转型的结果不是可以连续的移去两个同色的可约构形，就是含有经过了关键顶点的环形链的构形，分别再进行两次空出颜色的交换，即可空出颜色给待着色顶点。

雷  明
二○二一年四月一日于长安

    注：此文已于二○二一年四月二日在《中国博士网》上发表过，网址是：

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