1-1/2+1/3-1/4+1/5-............-1/2016=?

xfhaoym

看到 一个贴子：求：

1-1/2+1/3-1/4+1/5-............-1/2016=?

Nicolas2050

证：对于任意的m,n属于正整数，m>n
|xn-xm|=| [(-1)^(n+2)]/(n+1)+......+[(-1)^(m+1)]/m
当m-n为奇数时 |xn-xm|=| [(-1)^(n+2)]/(n+1)+......+[(-1)^(m+1)]/m <1/n(n+1)+1/(n+1)(n+2)+......+1/(m-1)m =（1/n-1/m）→0
由柯西收敛原理得{xn}收敛
当m-n为偶数时 |xn-xm|=| [(-1)^(n+2)]/(n+1)+......+[(-1)^(m+1)]/m <1/n(n+1)+1/(n+1)(n+2)+......+1/(m-2)(m-1)-1/m
=(1/n-1/(m-1)-1/m）→0
由柯西收敛原理得{xn}收敛
综上{xn}收敛，即{xn}存在极限 。

Nicolas2050

当n=>∞时
1-1/2+1/3-1/4……+1/2n
=1+1/2+1/3+1/4……+1/2n-2(1/2+1/4+……+1/2n)
=1/(n+1)+1/(n+2)+……1/2n
=1/n(1/(1+1/n)+1/(1+2/n)+……+1/(1+n/n)
=1/(1+x)[从0积到1]=ln2

xfhaoym

我是这样做的：

Future_maths

xfhaoym 发表于 2021-4-14 09:04
我是这样做的：

你那个公式是正确的吗？

xfhaoym

Future_maths 发表于 2021-4-19 13:31
你那个公式是正确的吗？

那个公式只能是近似的，20项以后就比较精确了。（这个发散级数是我用积分得出的）