已知 x＞0 ，y＞0 ，且 1／x+9／y=1 ，求 x+y 的最小值

doletotodole · 发表于 2021-4-21 05:32

请教一个多年来一直搞不懂的基本不等式.

如图, 条件下, 能否推出 x*y大等于36? 那么利用递推性, 推出答案为12, 为什么不行?
求大神解惑其原理. 老感觉背后隐藏着什么.

王守恩 · 发表于 2021-4-21 06:03

2个数的和=1，总有1个数≥平均数
\(1，若是\frac{1}{x}≥\frac{1}{2},即x=2\)
\(2，若是\frac{9}{y}≥\frac{1}{2},即y=10,11,12,13,14,15,16,17,18\)

luyuanhong · 发表于 2021-4-21 08:36

liangchuxu · 发表于 2021-4-21 09:35

也可以用函数方法求。

天山草@ · 发表于 2021-4-21 09:37

luyuanhong · 发表于 2021-4-21 19:25

楼上 liangchuxu 和天山草@ 的解答也很好！已收藏。

波斯猫猫 · 发表于 2021-4-21 22:39

题：已知x、y∈R+，且1/x+9/y=1，求x+y的最小值。

思路：由1/x+9/y=1有，x+y=（x+y）（1/x+9/y）=y/x+9x/y+10≥2√[（y/x）.（9x/y）]+10

=6+10=16（当且仅当y/x=9x/y，即x=4、y=12时等号成立），即x+y≥16。

luyuanhong · 发表于 2021-4-21 23:03

楼上波斯猫猫的解答也很好！已收藏。

王守恩 · 发表于 2021-4-22 06:30

本帖最后由王守恩于 2021-4-22 06:37 编辑

波斯猫猫发表于 2021-4-21 22:39
题：已知x、y∈R+，且1/x+9/y=1，求x+y的最小值。

思路：由1/x+9/y=1有，x+y=（x+y）（1/x+9/y）=y/x+9x ...

还是回到我们熟悉的 "1" 上来。

\(已知\ \sin^2\theta+\cos^2\theta=1,求\ \frac{1}{\sin^2\theta}+\frac{9}{\cos^2\theta}\ 最小值。\)

天山草@ · 发表于 2021-4-22 10:17

王守恩发表于 2021-4-22 06:30
还是回到我们熟悉的 "1" 上来。

\(已知\ \sin^2\theta+\cos^2\theta=1,求\ \frac{1}{\sin^2\theta}+ ...

很对！ 1 是个好东西。另外，如果把题目改为：

已知 x＞0 ，y＞0 ，且 x+y=1，求 1／x+9／y 的最小值。

则结果不变。

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