整除猜想

yangchuanju

整除猜想

一、一般整数间的整除问题
6可以被3整除，因为6=2*3，6的分解式中含有素因子3，所有6能被3整除；
21可以被3和7整除，因为21=3*7，21的分解式中含有素因子3和7；……

清一色数间的整除
清一色数，又称重一数，特指11、11、1111、11111……系列正整数。
111=3*37，111可以被3和37整除；1111=11*101，1111可被11和101整除；11111=41*271，11111可被41和271整除；……

φ因子，或称循环因子，在清一色分解式数表中首次出现的素因子。
37是111的φ因子，循环周期等于3，37是唯一的循环周期等于3的φ因子，可称“唯一φ因子”；
101是1111的φ因子，循环周期等于4，101是唯一的循环周期等于4的φ因子，也是“唯一φ因子”；
41和271是11111的φ因子，循环周期都等于5，不再是唯一的了；……
补上循环周期等于1的唯一φ因子3，循环周期等于2的唯一φ因子11，则
φ因子序列为：3,11,37,101,41,271,7,13,239,2439,73,137，……参见A046107；
唯一φ因子序列为：3,11,37,101，333667, 9091, 9901,……参见A007615和A040017。

清一色数一般用Rn表示，例R5=11111，R6=111111等。
循环周期等于n的φ因子用φn(10)或φn表示，则φ3=37，φ4=101，φ5有两个素数即41和271，不妨分别用φ5_1和φ5_2表示41和271。
清一色数Rn的分解式中一般还有它的φ因子，例R5=11111=41*271=φ5_1*φ5_2；R 3=111=3*37=φ1*φ3；……
循环周期等于n的φ因子（φn）一定会出现在R2n、R3n、R4n……中，例R4=1111=11*101=φ2*φ4；R6=111111=3*7*13*11=φ1*φ6_1*φ6_2*φ2；……

清一色数的整除
R2n、R3n、R4n一定能被Rn整除，例R4、R6、R8可被R2整除（1111/11=101、111111/11=10101、11111111/11=10101）；换言之Rn一定能整除R2n、R3n、R4n……。

100…01型正整数是清一色数的一个大因子。
当清一色数的指数n是偶数时，(10^2k-1)/9=(10^k+1)*(10^k-1)/9，分解式的第一个大因子10^k+1就是这个正整数100…01。
清一色数字最大φ因子（循环周期最大，非数值最大）一定保留在10^k+1中。例1111111111<10>=100001*11111，它的φ因子是φ10=9091， 100001=11*9091， φ10保留在100001之中。

10^2k-10^k+1=99…90…01，简称9901型数。
当清一色数的指数n是6的倍数时，(10^6k-1)/9=(10^3k+1)*(10^3k-1)/9=(10^k+1)*(10^2k-10^k+1)*(10^k-1)*(10^2k+10^k+1)/9，分解式中的第2个因子就是9901型数。
例R12= (10^12-1)/9=(10^2+1)*(10^4-10^2+1)*(10^2-1)*(10^4+10^2+1)/9=101*9901*11*10101
=101*9901*11*（3*7*13*37）=φ4*φ12*φ2*（φ1*φ6_1*φ6_2*φ3）
当用R2n去除R6n时，去掉了因子(10^2k-1)/9=(10^k+1)*(10^k-1)/9，余下两因子(10^2k-10^k+1) *(10^2k+10^k+1)，R6n的最大φ因子保留在(10^2k-10^k+1)之中。

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二、太阳先生的[(10^5n+1)/(10^n+1)] / [(100^5t-10^5t+1)/(100^t-10^t+1)]整除问题

大分子(10^5n+1)/(10^n+1)=(10^4n-10^3n+10^2n-10^n+1)，(10^n+1)的φ因子φ2n被保留，φ2n可能是唯一循环周期素数，也可能是多因子积的复合因子。

大分母(100^5t-10^5t+1)/(100^t-10^t+1)一定能整除，大分母的分子最高次是10的10t次，最大φ因子是φ30t，相除后保留在商中；
大分母既可以是素数，也可以是合数；其中素数居少，当t=4和5时是素数，对应于φ120=100009999999899989999000000010001<33>和φ150=10000099999999989999899999000000000100001<41>，这两个都是唯一循环周期φ因子。

例t=1，(100^5-10^5+1)/(100^1-10^1+1)=9999900001/91=109889011
109889011=P3 * P3 * P4  P3 = 211  P3 = 241  P4 = 2161
t=2，(100^10-10^10+1)/(100^2-10^2+1)=99999999990000000001/9901=10099989899000101
10099989899000101=P2 * P7 * P8  P2 = 61  P7 = 4188901  P8 = 39526741
t=3，(100^15-10^15+1)/(100^3-10^3+1)=999999999999999000000000000001/999001=1000999998998999000001001
1000999998998999000001001=P5 * P7 * P13  P5 = 29611  P7 = 3762091  P13 = 8985695684401
t=4，(100^20-10^20+1)/(100^4-10^4+1)=9999999999999999999900000000000000000001/99990001=100009999999899989999000000010001
100009999999899989999000000010001 is prime
t=5，(100^25-10^25+1)/(100^5-10^5+1)=99999999999999999999999990000000000000000000000001/9999900001
=10000099999999989999899999000000000100001
10000099999999989999899999000000000100001 is prime

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当t=4时大分母是素数，φ120=100009999999899989999000000010001<33>，唯一循环周期φ因子。
此时若大分子的n=36，(10^180+1)/(10^36+1)= 10^144-10^108+10^72-10^36+1，φ120被保留，大分子可被大分母整除，且分母是一个单独素数；
相除得数为1676321×265183201×5964848081<10>×100009999999899989999000000010001<33>×95853807…<35>×39340929…<53>

当t= 5时大分母是素数，φ150=10000099999999989999899999000000000100001<41>，唯一循环周期φ因子。
若大分子的n=45，(10^225+1)/(10^45+1)= 10^180-10^135+10^90-10^45+1，φ150被保留，大分子可被大分母整除，且分母是一个单独素数；
相除得数为251×5051×270001×78875943472201<14>×1000009999999998999989999900000000010000
1<41>×37036899…<115>

对于含多个φ因子的t和n，只要适当选取n值，在大分子的相除过程中，这些φ30t的所有因子都可能被保留，整个大分式可整除，但大分母不是素数。
例当t= 6时大分母是合数，φ180=1000000999999999998999998999999000000000001000001=P3 * C46。
试n=54，5n=270，10^270+1中含有φ因子180，(10^270+1)/(10^54+1)相除得数为
61×181×541×3541×27961×329941×4188901×39526741×49229101×68189581×4999437541453012143121<22> ×13029637224192121671301<23>×1105097795002994798105101<25>× 14184922…<48> × 90295730…<51>

故[(10^5n+1)/(10^n+1)] / [(100^5t-10^5t+1)/(100^t-10^t+1)]可整除，但分母不一定是素数。

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另外若选定大分子分子的n=120/2=60，分子的指数仍为300，分母的指数为100，(10^300+1)/(10^100+1)= 10^200-10^100+1，φ120被保留，大分子可被大分母整除；
或选定大分子分子的n=150/2=75，分子的指数仍为375，分母的指数变成125，(10^375+1)/(10^125+1)= 10^250-10^125+1，φ150被保留，大分子可被大分母整除；
对于含多个φ因子的t和n，只要5n能被3整除，在大分式的相除过程中，这些φ30t的所有因子都被保留，大分子可被大分母整除。
例t=6，对应的φ180=1000000999999999998999998999999000000000001000001=P3 * C46，n=180/2=90，5n=450，5n/3=150，(10^450+1)/(10^150+1)=(10^300-10^150+1)，被整除并保留了φ180；可被(100^30-10^30+1)/(100^6-10^6+1)整除；需要注意的是这里的φ180不是素数。
故[(10^5n+1)/(10^(5n/3)+1)] / [(100^5t-10^5t+1)/(100^t-10^t+1)]也可被整除。

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三、太阳先生的[(10^n^2+1)/(10^n+1)] / [(100^5t-10^5t+1)/(100^t-10^t+1)]整除问题

将大分式的分子改为(10^n^2+1)/(10^n+1)，当t=4和5时是素数，对应于φ120=100009999999899989999000000010001<33>和φ150=10000099999999989999899999000000000100001<41>，这两个都是唯一循环周期φ因子。

当大分子的n=15，n^2=225时，(10^225+1)/(10^15+1) 分母的全部因子被消除，整除了！
但分子的41位φ150因子仍被保留着，可再与大分母剩余的一个41位φ150因子相除。
相除得数为19×251×5051×29611×52579×270001×3762091×8985695684401<13> ×78875943472201<14>× 10000099999999989999899999000000000100001<41> × 37036899...<115>

当t=4时，33位唯一循环周期因子φ120包含在(10^n^2+1)的指数n^2等于60,120,180,240,300……中，当n=30时是一个平方数，(10^900+1)中含φ120=P33，但（10^30+1）中不含，φ120被保留，可与大分母相除尽，且大分母是素数。

当t=6时，49位复合因子φ180存在(10^n^2+1)的指数n^2等于90,180,270,360,450,540,630,720,810,900……中，与t=4类似，(10^900+1)中除φ120=P33外，还含有复合因子φ180，但（10^30+1）中即不含φ120，也不含φ180，φ180也被保留，可与大分母相除尽，但大分母不是素数。

【附注：(10^900+1)分解式中不包含(10^30+1)的各个素因子，两式不能相除；(10^900+1)分解式中也不包含φ180的3个φ因子，结论是错误的】

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四、太阳先生的必定是素数问题
太阳先生认为只要上述二、三段中的两大分式能整除，分母“必定是素数”，即：
[(10^5n+1)/(10^(5n/3)+1)] / [(100^5t-10^5t+1)/(100^t-10^t+1)]=c
[(10^n^2+1)/(10^n+1)] / [(100^5t-10^5t+1)/(100^t-10^t+1)]=c
分母(100^5t-10^5t+1)/(100^t-10^t+1)必定是素数。
前述分析已经非常清楚，只要适当选取大分子的指数n，整除总会有的，而大分母既可以是素数，也可以是合数。
值得注意的是，只有当素数是清一色数的某些唯一循环周期φ因子素数时，这种情况才会发生。

五、唯一循环周期φ因子素数
已知的唯一循环周期φ因子素数有31个，参见A007615：
能整除(10^5n+1)/(10^(5n/3)+1)和(10^n^2+1)/(10^n+1)的只发现19#和21#两个，其余的行不行不详，但肯定前部的一些小素数是不行的。
这两个φ因子分别对应清一色数(10^n-1)/9中的n=120和150的情况，或许指数n必须是15的倍数才行；另经探索得知还有一个1001位的唯一循环周期φ因子具有类似功能，它对应于清一色数的指数是3750。
相信能够充当太阳先生“必定是素数”的素数不会很多，可能相当多的唯一循环周期φ因子素数都是“混水”的，眼巴巴地看着P33和P41摸到大鱼！
本猜想是否正确，欢迎网友批评指正！至此先行谢谢！
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29 1098901098901098901098901098901098901098901098901098901098901098901098901098901098901098901098901098901098900989010989010989010989010989010989010989010989010989010989010989010989010989010989010989010989010989010989011
30 1000999998999000001000999998999000001000999998999000001000999998999000001000999998999000001000999998999000001000999998998999000001000999998999000001000999998999000001000999998999000001000999998999000001000999998999000001000999998999000001001
31 1000000001000000000999999999999999999999999998999999998999999997999999998999999999000000000000000000000000001000000001000000001000000001000000001000000000999999999999999999999999998999999999999999998999999999999999998999999999999999998999999999999999999000000000000000000000000001000000001000000001000000001000000001000000000999999999999999999999999998999999998999999997999999998999999999000000000000000000000000001000000001000000001

（以此作为近期与太阳先生论战的一个小结，如太阳先生能够看到该小结，欢迎批评指正）

太阳

yangchuanju 发表于 2021-4-25 11:27
当t=4时大分母是素数，φ120=100009999999899989999000000010001，唯一循环周期φ因子。
此时若大分子的n= ...

[(10^k^2+1)/(10^k+1)] / [(100^5t-10^5t+1)/(100^t-10^t+1)]，找到反例

太阳

111...1/a=b，a为素数，在某段距离始终出现a素素，a^n

太阳

太阳

1+2*88^(356+729a)，a取任何正整数，含有因子3^7