求证：1+10^a与1+10^k互质数

太阳

太阳

太阳

，，，，，，，，

太阳

a为奇数，k为偶数，1+8^a与1+8^k互质数

太阳

已知：整数m>0，n>0，奇数a>0，偶数k>0，互质数m+n，m+n^2
求证：m+n^a与m+n^k互质数

yangchuanju

昨夜，太阳先生久久未睡，于子夜时分抛出两贴。
今晨打开先生的帖子，细细品尝了一下，发现：
素数并不属于一个家族，而是属于两大家族——“奇”姓的和“偶”姓的。
在10^n+1中只有姓“偶”的，没有姓“奇”的！

“偶”姓素数有：
R2 = 11 = 11
R4 = 1111 = 11 × 101
R6 = 111111 = 3 × 7 × 11 × 13 × 37
R8 = 11111111 = 11 × 73 × 101 × 137
R10 = 1111111111<10> = 11 × 41 × 271 × 9091
R12 = 111111111111<12> = 3 × 7 × 11 × 13 × 37 × 101 × 9901
R14 =  11111111111111<14> = 11 × 239 × 4649 × 909091
R16 = 1111111111111111<16> = 11 × 17 × 73 × 101 × 137 × 5882353
R18 = 111111111111111111<18>  = 3^2 × 7 × 11 × 13 × 19 × 37 × 52579 × 333667
R20 = 11111111111111111111<20> = 11 × 41 × 101 × 271 × 3541 × 9091 × 27961
…………
“奇”姓素数有：
R3 = 111 = 3 × 37
R5 = 11111 = 41 × 271
R7 = 1111111 = 239 × 4649
R9 = 111111111 = 3^2 × 37 × 333667
R11 = 11111111111<11> = 21649 × 513239
R13 = 1111111111111<13> = 53 × 79 × 265371653
R15 = 111111111111111<15> = 3 × 31 × 37 × 41 × 271 × 2906161
R17 = 11111111111111111<17> = 2071723 × 5363222357<10>
R19 = 1111111111111111111<19> = 1111111111111111111<19>
…………
看管请注意，两姓素数中都有“3”，“3”究竟姓“奇”还是姓“偶”哪？
在10^n+1中只有姓“偶”的：
10^1+1 = 11 = 11
10^2+1 = 101 = 101
10^3+1 = 1001 = 7 × 11 × 13
10^4+1 = 10001 = 73 × 137
10^5+1 = 100001 = 11 × 9091
10^6+1 = 1000001 = 101 × 9901
10^7+1 = 10000001 = 11 × 909091
10^8+1 = 100000001 = 17 × 5882353
10^9+1  = 1000000001<10> = 7 × 11 × 13 × 19 × 52579
10^10+1 = 10000000001<11> = 101 × 3541 × 27961
…………
嗷！原来“3”是位祖师爷——老佛祖，夫家的，姓“奇”！

yangchuanju

太阳 发表于 2021-4-26 23:40
a为奇数，k为偶数，1+8^a与1+8^k互质数

“a为奇数，k为偶数，1+8^a与1+8^k互质数”
令a=3，k=6，
1+8^3=1^3+8^3=（1+8）*（1-1*8+8*8）=9*57=513=3*3*3*19
1+8^6=1+64^3=（1+64）*（1-1*64+64*64）=65*4033=262145=5*13*37*109
互素！

yangchuanju

yangchuanju 发表于 2021-4-27 05:37
昨夜，太阳先生久久未睡，于子夜时分抛出两贴。
今晨打开先生的帖子，细细品尝了一下，发现：
素数并不属 ...

再进一步细分，姓“偶”的家族又可分成“偶大”和“偶二”两个支系：
“偶大”支系：
10^1+1 =  11
10^3+1 =  7 × 11 × 13
10^5+1 =  11 × 9091
10^7+1 =  11 × 909091
10^9+1   =  7 × 11 × 13 × 19 × 52579
10^11+1 =  11^2 × 23 × 4093 × 8779
10^13+1 =  11 × 859 × 1058313049<10>
10^15+1 =  7 × 11 × 13 × 211 × 241 × 2161 × 9091
10^17+1 =  11 × 103 × 4013 × 21993833369<11>
10^19+1 =  11 × 909090909090909091<18>
10^21+1 =  7^2 × 11 × 13 × 127 × 2689 × 459691 × 909091)
10^23+1 =  11 × 47 × 139 × 2531 × 549797184491917<15>
10^25+1 =  11 × 251 × 5051 × 9091 × 78875943472201<14>
10^27+1 =  7 × 11 × 13 × 19 × 52579 × 70541929 × 14175966169<11>
10^29+1 =  11 × 59 × 154083204930662557781201849<27>
10^31+1 =  11 × 909090909090909090909090909091<30>
“偶二”支系：
10^2+1 =  101
10^4+1 =  73 × 137
10^6+1 =  101 × 9901
10^8+1 =  17 × 5882353
10^10+1 =  101 × 3541 × 27961
10^12+1 =  7^3 × 137 × 99990001
10^14+1 =  29 × 101 × 281 × 121499449
10^16+1 =  353 × 449 × 641 × 1409 × 69857
10^18+1 =  101 × 9901 × 999999000001<12>
10^20+1 =  7^3 × 137 × 1676321 × 5964848081<10>
10^22+1 =  89 × 101 × 1052788969<10> × 1056689261<10>
10^24+1 =  17 × 5882353 × 9999999900000001<16>
10^26+1 =  101 × 521 × 1900381976777332243781<22>
10^28+1 =  7^3 × 137 × 7841 × 127522001020150503761<21>
10^30+1 =  61 × 101 × 3541 × 9901 × 27961 × 4188901 × 39526741
10^32+1 =  19841 × 976193 × 6187457 × 834427406578561<15>
“偶大”支系皆含一个素数11；“偶二”支系中都不含素数11。
不是一个支系，自然它们是“互质”的了！

【附注1：太阳先生的证明题是需要严格的数学证明的，我在这里只是调侃了一同，并没有能证明它们的“互质”问题】
【附注2：进一步按孙辈再分，“偶二”支系还可再分成两个“孙系”，指数等于2*(2k+1)的大孙系皆含素数101，指数等于4k的二孙系都不含素数101。】

yangchuanju

yangchuanju 发表于 2021-4-27 15:03
再进一步细分，姓“偶”的家族又可分成“偶大”和“偶二”两个支系：
“偶大”支系：
10^1+1 =  11

11和101虽然都姓“偶”，但一个是“偶大”支系的，一个是“偶二”支系的；在它们的孙辈、从孙辈、曾孙辈……中11和101不会同时出现！
“10^n+1，如果找到第一次含有11，101，找到第二次含有11，101，必定可以找到第三次含有素数11，101”，
因为不存在11和101第一次、第二次同时出现的n，所以找不到第三次同时出现的n；

“10^n+1，如果找到第一次含有11，101，找到第二次含有11，101，必定可以找到第三次含有素数11，101”，
不论是理论上，还是逻辑上逻辑都是正确的，恭喜太阳先生的“伟大发现”！

ysr

1111111111111111111，这是素数有19位，用时0.1894531秒.

辛苦了，但愿你们的成果能得到重视！