愚蠢的想法:任何一个大于3的奇数,都可以写成\(2^n+p\)的形式,其中n>0,p为奇素数。

awei

愚蠢的想法：任何一个大于3的奇数，都可以写成\(2^n+p\)的形式，其中n>0,p为奇素数。
例如：
\[5=2^1+3\]
\[7=2^2+3\]
\[9=2^2+5\]
\[11=2^2+7\]
\[13=2^1+11\]
\[15=2^3+7\]
\[17=2^2+13\]
\[19=2^3+11\]
\[…………\]


假如命题能成立，还是比较有意思的。

awei

10235不能成立，的确想法有些愚蠢

uk702

awei 发表于 2021-4-28 02:33
10235不能成立，的确想法有些愚蠢

当 n 充分大时，1..n 中的素数为 \(\frac{n}{ln(n)} \)个，1..n 中的 2 的幂次为 log2(n)个，\(2^n+p\) 总数计  log2(n) * \(\frac{n}{ln(n)} \) 个，其密度为 \(\frac{log2(n)}{ln(n)}\) = log2(e) = 1.442695041 > 1，

故当 n 充分大时，命题似应成立？

uk702

uk702 发表于 2021-4-28 08:45
当 n 充分大时，1..n 中的素数为 \(\frac{n}{ln(n)} \)个，1..n 中的 2 的幂次为 log2(n)个，\(2^n+p\) ...

编程验证，似乎不成表成 \(2^n+p\) 的小整数 n 的概率还不低，其中最小的 n 为 127。


经初步编程验证，似不满足要求的奇数 i  的概率还不小，并似有增大的趋势：
5..10^6 时， 约 7.9%
5..10^7 时， 约 8.4%
5..10^8 时， 约 8.9%

现求当 n 充分大时，不满足要求的奇数 i 的概率，或者给出上、下界估计。

各位数手指头的小牛、精通筛法&&密率的巨牛、胡搅蛮缠的各种牛，是时候一试身手啦！

uk702

波利尼亚克数的渐近密度是多少？http:\//oeis.org\/A006285

awei

uk702 发表于 2021-4-28 09:44
编程验证，似乎不成表成 \(2^n+p\) 的小整数 n 的概率还不低，其中最小的 n 为 127。

谢谢老师精彩的回答，自己只是觉得有意思，满足条件的奇数有没有什么共性，我再慢慢玩玩

Ysu2008

自 5 开始前 1000 万个奇数的情况：

能被表示的有 9142072 ,约占 0.9142
其中素数有 1071992 个

不能被表示的有 857928 , 约占 0.0858
其中素数有 198614 个

第1组连续 1 个不能被表示的是:
127

第1组连续 2 个不能被表示的是:
905
907

第1组连续 3 个不能被表示的是:
18895
18897
18899

第1组连续 4 个不能被表示的是:
56287
56289
56291
56293

第1组连续 5 个不能被表示的是:
3296885
3296887
3296889
3296891
3296893

awei

Ysu2008 发表于 2021-4-29 19:47
自 5 开始前 1000 万个奇数的情况：

能被表示的有 9142072 ,约占 0.9142

谢谢老师回帖