【转载】梅森数之谜：MM127是素数吗？

yangchuanju

梅森数之谜：MM127是素数吗？

周平源
E-mail: zhoupingyuan49@gmail.com
   
当Mp=2^p–1是一个梅森素数时，如果把Mp作为指数就可以生成一个新的梅森数,它称为由已知梅森素数Mp生成的双梅森数。虽然Mp是已知素数但MMp不一定也是素数，MMp是否也是素数需要证明或检验。如果MMp是素数，把MMp作为指数可以生成又一个新的梅森数MMMp,它称为由梅森素数MMp生成的双梅森数。这种生成新的梅森数的方法可以无休止地进行下去，而且相继生成的梅森数的数值成长极为迅猛，在这种序列中通常第几项的数值就会成为巨大的天文数字。这就是著名的卡特兰-梅森猜想的数学方法基础。
      1876年卢卡斯（Lucas）证明梅森数M127=2^127–1是素数后，数学家卡特兰（Catalan）便列出了如下一列无穷的数: c1=M2，c2=MM2，c3=MMM2，c4=MMMM2，c5=MMMMM2，….并猜想这些数都是素数。它就是至今悬而未决的著名数论历史难题卡特兰-梅森猜想（Catalan’s Mersenne conjecture）。前4个数 c1=M2，c2=M3，c3=M7，c4=M127在卡特兰提出这个猜想时就已经知道它们都是素数，但第5个数c5=MM127的数值实在太大至今没有任何可信的方法证明它是素数，而如果它是合数就需要找出它的一个因子但还必须等待漫长的岁月，这是因为比MM127小得多的双梅森数MM61至今还没有被找出一个因子。
多年以来不乏业余数学家宣布已证明MM127是素数，但这些证明都被指出是不可靠的。一些专业数学家推测MM127很可能不是素数，主要理由表现在以下两方面：
1.在MM127 的数值规模上（位数超过10^38），可计算出MM127为素数的概率约为1/2120，这是极小的概率，因而MM127几乎不可能是素数。
2.有许多早期类似的猜想形成普遍的误解都被很快出现的合数项否定了。第一例：梅森素数（Mersenne prime）。公元前就知道前4个梅森数M2，M3，M5，M7都是素数因而人们曾猜测对于每个素数p相应的梅森数Mp都是素数，但因为雷吉乌斯在1536年发现M11是合数这个猜想就被否定了。第二例：双梅森素数（double Mersenne prime）。由于已知前4个双梅森数MM2，MM3，MM5，MM7都是素数因而人们曾猜测对于每个梅森素数Mp相应的双梅森数MMp都是素数，但在1976年Wilfrid Keller发现MM13存在因子后这个猜想也被否定了（至今已经知道双梅森数MM17，MM19，MM31也都有已知因子，正在寻找MM61的因子。在此发现MM31存在因子有特殊意义，因为这个梅森合数MM31的数值已经远远大于最大已知梅森素数M43112609的数值）。第三例也是最著名的例子：费马素数（Fermat prime）。法国大数学家费马（Fermat）在发现前5个费马数Fn=2^2^n+1（n=0,1,2,3,4）都是素数后便猜想每个费马数都是素数但没有给出证明。在费马提出这个猜想60年后，瑞士大数学家欧拉（Euler）于1732年证明第6个费马数可分解为F5=4294967297=641×6700417（现在已有几十种方法可以证明这个结果），从而否定了费马的这个猜想。费马一生中提出过许多重要的猜想，但只有这一个猜想没有成功。鉴于这类先例，数学家David G. Wells 2005年在其专著Prime Numbers: The Most Mysterious Figures in Mathematics（素数：数学中最神秘的图案）中讲述到卡特兰-梅森猜想（Catalan’s Mersenne conjecture）时评论道，“如同许多这类猜想一样，在这里一个合数项也可能会非常快地出现。”因为每个卡特兰-梅森数实际上都是梅森数，在卡特兰-梅森数序列中前一个梅森数总是后一个梅森数的指数，所以如果出现一个卡特兰-梅森合数，那么以下的所有卡特兰-梅森数都是合数。在梅森数的素性研究中，这是早已证明无疑的。于是，第5个卡特兰-梅森数c5=MM127是素数还是合数就显得至关重要。如果MM127是合数，卡特兰-梅森猜想就此最终破解。但如果MM127是素数，卡特兰-梅森猜想仍然是一个悬案，因为接下来的任务是需要判断第6个卡特兰-梅森数c6=MMM127是素数还是合数。由于c6=MMM127是个巨大的天文数字，要对它的素性作出判断难于登天。这就意味着，如果MM127真是素数，那么卡特兰-梅森猜想可能成为千古悬案，除非卡特兰-梅森猜想本身得到证明是成立还是不成立。我们应当注意到，上述早期猜想的破解都是依靠实证合数的出现，而对卡特兰-梅森猜想而言，要找到MM127的因子有待于遥远的未来。是否存在一些理论上的启示现在就可能帮助我们判断MM127是不是合数呢？
首先可以想到的是，把每一个已知梅森素数分别作为首项都可以推出一个相应的卡特兰-梅森数的无穷列。原始的卡特兰-梅森数是以M2为首项推出的数列，由于 M3， M7， M127已被包含其中，因此分别以M3， M7， M127 作为首项而推出的相应的卡特兰-梅森数列与以M2为首项推出的卡特兰-梅森数列等效，它们会出现相同结果。新的卡特兰-梅森数列可以分别从M5，M13，M17，M19，M31等作为首项推出。由M5为首项推出的卡特兰-梅森数列是：M5,MM5，MMM5，MMMM5，MMMMM5，….它的第一项M5是素数，第二项MM5=M31是素数，但第三项MMM5=MM31是已知合数因而以下所有项均是合数。由M13为首项推出的卡特兰-梅森数列是：M13,MM13，MMM13，MMMM13，MMMMM13，….它的第一项M13是素数，第二项MM13是已知合数因而以下所有项均是合数。由M17为首项推出的卡特兰-梅森数列是：M17,MM17，MMM17，MMMM17，MMMMM17，….它的第一项M17是素数，第二项MM17是已知合数因而以下所有项均是合数。由M19为首项推出的卡特兰-梅森数列是：M19,MM19，MMM19，MMMM19，MMMMM19，….它的第一项M19是素数，第二项MM19是已知合数因而以下所有项均是合数。以M31为首项推出的卡特兰-梅森数列已经被包含在M5为首项推出的卡特兰-梅森数列之中,因此以M31为首项推出的卡特兰-梅森数列与以M5为首项推出的卡特兰-梅森数列等效，它们会出现相同结果。由此观之，如果M2在所有已知梅森素数中并不占据特殊地位，或者等效地说，M2， M3， M7， M127在所有已知梅森素数中并不分别都占据特殊地位，那么以M2为首项推出的卡特兰-梅森数列与以其它已知梅森素数为首项推出的卡特兰-梅森数列不会出现不同的结果，也就是说原始的卡特兰-梅森数列也会因为出现一个合数而导致以下所有原始卡特兰-梅森数成为合数，最可能的“导火线”就是MM127是合数。
其次，对新梅森猜想（New Mersenne conjecture）的解读也可能对思考这个问题提供一些线索。
1989年Bateman, Selfridge，Wagstaff 在《美国数学月刊》( The American Mathematical Monthly )发表影响广泛的论文The New Mersenne Conjecture（新梅森猜想），提出下面3个表述中如果任何两个表述成立那么另一个也成立：
1. p=2k±1 或p=4k±3，在此p为奇正整数，k为正整数。
2. 2^p–1是素数（梅森素数）。
3. （2^p+1）/3是素数（Wagstaff素数）。
这就是新梅森猜想，已经验证对于所有素数p<12441900这个猜想是成立的。
从这个猜想的验证我们很容易看到，当p≤127时使3个表述都成立的素数p值为3,5,7,13,17,19,31,61,127。在小于127的素数p值中2，89,107虽然使第2个表述成立但第1个和第3个表述均不成立。而当p>127时3个表述都成立的情形完全消失，我们看到的情形均为一个表述成立但另外两个表述皆不成立。它表达的一个基本事实是，当p≤127时，大多数梅森素数的p值都满足表述1，它是梅森素数p值位置的主流。但是我们已经验证,当p>127时所有的已知梅森素数（直到最大的已知梅森素数M43112609）都不满足表述1。如果这是一个可信的规律，我们可以进一步猜想，当p>127时不存在任何梅森素数的p值满足表述1，而根据新梅森猜想，当p>127时也不存在任何Wagstaff素数的p值满足表述1。如果这个进一步的猜想成立，由于MM127的p值M127满足表述1，所以MM127只能是合数,而根据新梅森猜想，p值为M127的Wagstaff数（MM127+2）/3也只能是合数。尽管这种可能性非常诱人，但它未经证明，更重要的是它也不是已知的事实，而破解卡特兰-梅森猜想难题的铁证依然是：拿出MM127的一个因子来！
在互联网上输入MM127就会找到一个数学论坛专门讨论MM127究竟可能是素数还是合数，各种观点众说纷纭，如火如荼，可圈可点之处甚多，对卡特兰-梅森猜想情有独钟者不妨一阅，至少在拓展思路上定有斩获。
如果最终证实MM127的确含有一个因子，那么卡特兰-梅森猜想之谜不仅就此破解而且卡特兰-梅森猜想将成为数学家盖伊（Richard Guy）1988年在《美国数学月刊》发表论文提出的“强小数规律”（Strong law of small numbers）的新例证。盖伊强小数规律的原文表述为“There are not enough small numbers to meet the many demands made of them.”它的原意是“数学涉猎太广，小数不够用了。”可理解为在一定的小数范围内出现的看起来非常有规律的数学现象可能只是巧合，这些数学规律在更大的范围将不复存在。盖伊在这篇论文中列举了纯数学领域中35个证据确凿的巧合例证以支持他的论断，并幽默地说“强小数规律是数学家的敌人：当你发现一个数学规律后，你怎么知道它是不是真的呢？”强小数规律的存在已经使数学家在对待小数范围内出现的有规律的数学现象时持谨慎态度，在未经证明的情况下不会轻易相信发生在小数范围的数学规律也会出现在大数情形。看起来强小数规律正在考验许多小数范围内出现的数学规律，而著名的卡特兰-梅森猜想正在接受这种严峻的考验。
               


References

1.        Mersenne prime in The On-Line Wikipedia.
2.        Fermat number in The On-Line Wikipedia.
3.        Double Mersenne number in The On-Line Wikipedia and The On-Line Wolfram MathWorld.
4.        New Mersenne Prime Conjecture in The On-Line Wolfram MathWorld.
5.        Mersenne Primes: History, Theorems and Lists in The On-Line Prime Pages.
6.        Strong law of small numbers in The On-Line Wolfram MathWorld.

       

白新岭

对于这方面的涉猎还是极少出现的，因为没有解决这类问题的新数学工具。望而生畏，举步维艰。

cz1

梅森数之谜：MM127 可能是素数，

cz1

梅森数之谜：MM127 可能是素数，

但，MMM127 必为合数，，，，，

且，MMMM127 必为合数，，，，，，

yangchuanju

兹将本人有关梅森数的一些帖子顶起来，放到一起，供参阅！

太阳

\(2^{170141183460469231731687303715884105727}-1\)，数子太大了，无法判断是否为素数

太阳

已知:\(a^2c-a^2c^2=11a^3\)，\(c=2^k-1\)，\(k=9u+1\)
整数\(a\ne0\)，\(m＞1\)，\(t＞1\)，\(u＞1\)，奇数\(c＞0\)，素数\(k＞0\)
求证:\(2^k-1=mt\)

太阳

\(2^{170141183460469231731687303715884105727}-1\)，代入方程\(a^2c-a^2c^2=11a^3\)，有整数解
判断\(2^{170141183460469231731687303715884105727}-1\)是合数

太阳

\(2^{170141183460469231731687303715884105727}-1\)，代入方程\(a^2c-a^2c^2=5a^3\)，有整数解
判断\(2^{170141183460469231731687303715884105727}-1\)是合数

太阳

\(2^{170141183460469231731687303715884105727}-1\)，代入方程\(a^2c-a^2c^2=37a^3\)，有整数解
判断\(2^{170141183460469231731687303715884105727}-1\)是合数