不含经过关键顶点的环形链的H—构形的各种解决办法

雷明85639720

不含经过关键顶点的环形链的H—构形的各种解决办法
雷  明
（二○二一年五月二十六日）

   不含经过了关键顶点的环形链的不可避免构形的标准形式如图1。我们知道解决H—构形的关键是要破坏双环交叉链，只要图中不含有双环交叉链，图就转化成了可约的K—构形。但图1的构形中却不含有经过了关键顶点的环形链，不可能用数用断链交换法破坏双环交叉链。只能用转型交换法使其转型，再看转型后的图是什么样的构形，再想办法解决。
1、用交换对角链的连续转型交换法
我们已经证明了用这一办法最多5次转型，就可以使图转化成可以连续的移去两个同色的可约的K—构形，或者转化成有经过了关键顶点的环形链的H—构形，再用断链交换法使其转化成可约的K—构形。证明的原事是这样的：对图1，无论是进行逆时针方向的转型交换，还是顺时针方向的转型交换，在中途无论是转化成了可以连续的移去另一个同色的K—构形，还是转化成了有经过了关键顶点的环形链的H—构形，但只要在平面图范围内还能构造出从另一个同色到其对角顶点的连通链，就人为的再构造一条这样的链，使构形仍是一个H—构形而继续的转型。等到在平面图范围内不可能再构造从另一个同色顶点到其对角顶点的连通链时为止，这时得到的图就是一个可约的K—构形。这时一共是进行了5次转型交换。逆时针方向转型过程如图2到图9所示，最后再进行两次空出颜色的交换，即可空出一种颜色给待着色顶点V着上。



但为什么最大的转型次数是5呢？因为5—轮构形中有5个围栏顶点，每转型一次，构形的峰点就变换一个地方，5个围栏顶点都作了一次峰点时，最大也就只是转型5次，就是一个周期，就应可以空出颜色来了。
用这种转型交换，若是连续的交换了两条关于B的链时，虽不能连续的移去两个B，但无论是先从那个B点进行交换，却仍得到的是一个不含有经过了关键顶点的环形链的含有双环交叉链的H—构形（如图10到图13），所以这样的交换是解决不了问题的。


2、用交换邻角链的连续转型交换法
对图1的构形，进行逆时针邻角链交换时，一次转型后仍是一个BDB型的H—构形，但有经过了关键顶点的环形链（如图14）；二次转型后还是一个BCB型的H—构形，但无经过关键顶点的环形链（如图15）；三次转型后则是一个BAB型可约的K—构形（如图16）。若对图1的构形，进行顺时针邻角链交换时，一次转型后就是一个只有一条连通链的BCB型的可约的K—构形（如图17）。可见用交换邻角链的转型交换法，这种构形最多三次转型就可以解决问题。


可以看出，邻角链转型交换的结果，各次交换得到的都是双B夹×型的构形，只有A、C、D三种颜色轮流作构形的峰点，三次交换则是一个周期。正好第三次交换得到的是一个BAB型的构形，与原构形的类型是相同的。所以这种转型交换的方法最大的转型次数也就只是3次。这种交换也是一种转型交换，但要比前一种对角链转型交换简单得多。不但最大交换次数只是3次，而不是5次，而且最后的空出颜色的交换也只需要一次，而不再需要进行两次了。
用这种转型交换，若是连续的交换了两条关于B的链时，最多两次交换就可以转化成可约的K—构型。逆时针转型时，一次交换后是一个有经过了关键顶点的环形链DBD型的H—构形（如图18），二次交换后才是一个无连通链K—构形（如图19）。顺时针转型时，一次交换后就是一个只有一条连通链的K—构形（如图20），这时问题就已经解决。但我有意的再进行了二次交换，得到的也是一个只有一条连通链的K—构形（如图21）。


3、用交换个别顶点颜色直接转化成含有经过了关键顶点的环形链的构形的方法进行解决
从图1中可以看出，把图中左侧的内部面中的B色顶点改成D色时，图中就产生了经过了关键顶点的环形链C—D（如图22），再用断链交换法进行解决即可成为可约的K—构形。

4、只断掉一条双环交叉链的解决办法
有些图中在双环交叉的A—C链和A—D链上的某些顶点外围存在着二色的4—圈，如图23中A—D链上的D色顶点外围的A—B圈和A色顶点外围的C—D圈，以及A—C链上的C色顶点外围的A—B圈和A色顶点外围的C—D圈。在这些圈内改变4—轮中心顶点的颜色，就可以使双环交叉链的一条断开，使图转化成只有一条连通链的可约的K—构形。

要使A—D链断开时，可以改变4—轮中心顶点的D色为C色（如图24），或者改变另一个4—轮中心顶点的A色为B色（如图25）；要使A—C链断开时，可以改变4—轮中心顶点的C色为D色（如图26），或者改变另一个4—轮中心顶点的A色为B色（如图27）。这样，图就都转化成只有一条连通链的可约的K—构形了。


看来，解决无经过关键顶点的环形链的H—构形的办法要比解决有经过了关键顶点的环形链的构形的办法要更多，更灵活。

雷  明
二○二一年五月二十六日于长安

注：此文已于二○二一年五月二十六日在《中国博士网》上发表过，网址是：
http://www.chinaphd.com/cgi-bin/ ... pic=4409&show=0

雷明85639720

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wangyangke

雷明、王若仲、鲁思顺，程中战在哥德巴赫猜想方面的层次——

雷明垫底；雷明，一个叙述不清楚哥猜的人，说他的哥猜证明没有错误还不行，非得要说他证明了哥猜；
王若仲，讲义讲义，终究是屁；沉溺筛除、四则证哥猜；
鲁思顺坐——座中；有三愚蠢四无知之美实；
程中战居上，言语随意，有啥说啥；虽不足和不全面或者坠为错误，倒也不失奇妙。

雷明85639720

wangyangke，你狂吠吧！

雷明85639720

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