取石子问题

槐序十二 · 发表于 2021-6-11 17:25

有三堆石子，数量分别为18,20,36，两个人轮流取石一次，每次从任意一堆石子中，至少取走1颗，谁取到最后的一颗石子为输，请指定一个取胜策略。

随便十一 · 发表于 2021-6-11 17:29

三）尼姆博奕（Nimm Game）：有三堆各若干个物品，两个人轮流从某一堆取任意多的物品，规定每次至少取一个，多者不限，最后取光者得胜。     这种情况最有意思，它与二进制有密切关系，我们用（a，b，c）表示某种局势，首先（0，0，0）显然是奇异局势，无论谁面对奇异局势，都必然失败。第二种奇异局势是（0，n，n），只要与对手拿走一样多的物品，最后都将导致（0，0，0）。仔细分析一下，（1，2，3）也是奇异局势，无论对手如何拿，接下来都可以变为（0，n，n）的情形。     计算机算法里面有一种叫做按位模2加，也叫做异或的运算，我们用符号（+）表示这种运算。这种运算和一般加法不同的一点是1+1=0。先看（1，2，3）的按位模2加的结果： 1 =二进制01 2 =二进制10 3 =二进制11 （+） ——————— 0 =二进制00 （注意不进位）     对于奇异局势（0，n，n）也一样，结果也是0。     任何奇异局势（a，b，c）都有a（+）b（+）c =0。如果我们面对的是一个非奇异局势（a，b，c），要如何变为奇异局势呢？假设 a < b< c,我们只要将 c 变为 a（+）b,即可,因为有如下的运算结果: a（+）b（+）(a（+）b)=(a（+）a)（+）(b（+）b)=0（+） 0=0。要将c 变为a（+）b，只要从 c中减去 c-（a（+）b）即可。     例1。（14，21，39），14（+）21=27，39-27=12，所以从39中拿走12个物体即可达到奇异局势（14 ，21，27）。     例2。（55，81，121），55（+）81=102，121-102=19，所以从121中拿走19个物品就形成了奇异局势（55，81，102）。     例3。（29，45，58），29（+）45=48，58-48=10，从58中拿走10个，变为（29，45，48）。     例4。我们来实际进行一盘比赛看看：          甲

7,8,9)->(1,8,9)奇异局势          乙

1,8,9)->(1,8,4)          甲

1,8,4)->(1,5,4)奇异局势          乙:(1,5,4)->(1,4,4)          甲:(1,4,4)->(0,4,4)奇异局势          乙:(0,4,4)->(0,4,2)          甲:(0.4,2)->(0,2,2)奇异局势          乙:(0,2,2)->(0,2,1)          甲:(0,2,1)->(0,1,1)奇异局势          乙:(0,1,1)->(0,1,0)          甲:(0,1,0)->(0,0,0)奇异局势          甲胜。

alwy01 · 发表于 2025-4-20 01:04

1,有确定开局局面．
2，局面态势总数有限，且不会陷入重复而导致循环，即在有限步聚后必然分出胜负，不存在和局．
则游戏结果只与开局局面与先后手有关，与游戏过程完全无关．（假定双方足够聪明，且以取胜为目的．）
所有局面分为两种，即先手必羸与先手必输．取胜策略为自己操作后，形成先手必输局面．
将三堆石子数均用二进制表示，三个数的相同数位位字相加，不向前进位，根据和的奇偶性判断先后手．
例：（1，2，3）表示成二进制，（1，10，11），1+0+1＝2，1+1＝2，两个和皆为偶，则先手必然取不到最后一个．
（1，2，4）表示成二进制，（1，10，100），1+0+0＝1，1+0＝1，1＝1，三个和有奇数，则先手必然有策略可以取到最后一个．
（18，20，36）－－－－（10010，10100，100100）－－－－6个和分别是1，2，0，2，1，0，有奇数，则先手必然会取到最后一个，板上钉钉．

simpley · 发表于 2025-5-12 15:04

异或逻辑。11=0，00=0，10=1，01=1
1，2，3变为二进制异或运算后为0，先手必败。因为无论你怎么取，取后的结果都不是0，而对手总能把它变为0.

alwy01 · 发表于 2025-5-19 21:48

本帖最后由 alwy01 于 2025-5-19 21:55 编辑

可以用Ｅxcel 编程解决。
第一次操作后变为（18，20，6）局面，8个和皆为0.

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