求助 概率论相关

duoduo

设(X,Y)~f(x,y)，如和的分布Z=X+Y的概率密度公式，在用公式计算f(z)时，需要确定积分限,比如如果0<x,y<1的话，当0<z<1积这条线就是∫(0,z)f(x,z-x)dx,如果按照以下思维来想,在f(x,y)中将z=x+y这条线画出来，对这条线积分，这条线的线密度就是f(x,y)，这不就是第一型曲线积分吗，但是第一型曲线积分代y=z-x进去，会多乘一个根号二。这里和第一型曲线积分有什么关系吗，为什么会多一个根号2呢

但是如果做比如y的边际密度时，相当于把y这条横线积分，密度就是f(x,y)，又和第一型曲线积分吻合了，因为常数求导是0，相当于多乘了一个根号1。

这个问题困扰我很久了求老师们解答。十分感谢！

cgl_74

虽然不是很确定理解了你说的，但是有个提醒，z的范围是0<z<根号2，而不是0<z<1. 你画个图就知道z的范围了。

cgl_74

修正一下我上面的说法。如果是我来做这个概率积分，如下过程：

duoduo

cgl_74 发表于 2021-6-17 13:15
修正一下我上面的说法。如果是我来做这个概率积分，如下过程：

我就是想不明白这里进行线积分为什么少了一个根号二，线积分的公式ds不是等于(根号下1+(y')^2)dx吗

cgl_74

我应该是懂你的意思了。我以前的做法也是有问题的。无论是I型线积分还是II型线积分，本质都要对ds进行积分，转换方式不一样而已。我比较了2种积分方法，是等价的。
如下过程：

duoduo

cgl_74 发表于 2021-6-18 15:37
我应该是懂你的意思了。我以前的做法也是有问题的。无论是I型线积分还是II型线积分，本质都要对ds进行积分 ...

你之前的做法没问题 没有根号2是对的，你这次用线积分的概念来积就多了个根号二，我就想不明白这里。

duoduo

cgl_74 发表于 2021-6-18 15:37
我应该是懂你的意思了。我以前的做法也是有问题的。无论是I型线积分还是II型线积分，本质都要对ds进行积分 ...

我有这样想过，密度乘ds是质量不是密度，但我想不明白为什么密度乘dx就是密度了

cgl_74

密度乘以ds就是质量，不是密度。密度函数不是0，ds是无穷小量，密度*ds也是无穷小量。
语言表达可能苍白。建议把问题更具体化。令f(x, y) = x+y，那么线上的高为常数Z，底边长为根号2*Z，面积就是根号2*Z^2，这就是线积分和。你用你自己的方法积分看看，是否对得上。