从马宁的观察谈起 —— 反思数学在物理上的威力

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从马宁的观察谈起 —— 反思数学在物理上的威力

作者：高涌泉 为台大物理系教授，毕业于加州大学柏克莱分校。除研究外，长年致力于科普推广与写作，为《科学人》固定专栏作者。部分文章收录于其个人散文集《另一种鼓声》、《武士与旅人》。

本文刊登于《数理人文》杂志（微信公众号：math_hmat）第 2 期（2014 年 6 月）。

对于物理与数学两者之间极其微妙、难以剖析的紧密关系，已有无数精彩论述。非常多知名的数学家与理论物理学家都曾发表过他们的看法，其中以研究对称性在物理上的意义闻名的维格纳（Eugene P. Wigner）于 1960 年所发表的〈数学在自然科学中不合理的有效性〉尤其受人瞩目，因为维格纳把数学推论在物理中的巨大威力看成我们终究无从理解的奇迹，继而引来众多赞成或反对的评论。这些讨论涉及了数学家、科学家与哲学家自古以来就不停争辩的基本问题，如实在论 vs 反实在论、柏拉图主义 vs 反柏拉图主义等，可以想见要让大家当下得到共识是近乎不可能的事。


马宁（照片来源：Caucher Birkar）

我无意（也无能力）在此继续追究数学的威力究竟从何而来，反而是要倒过来探究数学在物理上的威力是否有其限制？原因是我前些时在马宁（Yuri I. Manin）的文集《作为隐喻的数学》（Mathematics as Methaphor）中读到〈数学与物理的交互关系〉（Interrelation between mathematics and physics）一文，看到他对于两者关系的一些有趣观察，另外又在《美国数学学会会讯》2014 年 2 月号转载〈德利涅访谈记〉（Interview with Pierre Deligne）一文中读到德利涅对于物理神秘威力的感叹，引发了我省思数学对于当代理论物理发展的帮助究竟有多大。


德利涅（油画照片来源：蕉岭丘成桐国际会议中心）

马宁在〈数学与物理的交互关系〉文章中说，在 19 世纪末、20 世纪初，数学家集中精力处理一些基本问题，例如什么是数学证明？数学的无穷大地位是什么？但是他们创造出的新数学，如勒贝格积分（Lebesgue integration），对于正挂念于量子现象的物理学家如玻尔（Niels Bohr）、爱因斯坦、泡利（Wolfgang Pauli）、薛定谔（Erwin Schrodinger）、狄拉克（Paul Dirac）来说，根本没有用，而数理逻辑方面的进展，这些人更是不在意。物理学家所需要的数学，如矩阵、旋量（spinor）、佛克空间（Fock space）、狄拉克 δ 函数、劳仑兹群表示（representation of Lorentz group）等，他们都自己「应变地首先或重新创造出来」。


玻尔（左）和爱因斯坦（右）| 照片来源：Ehrenfest

我尤其注意到马宁又说：
数学与物理两阵营有传统的专业互动也中断了。自 1930 年代量子电动力学取得初步的成功，直到 1960 年代两方再次开始交往为止，数学家对于本世纪主要的物理研究领域 —— 量子场论 —— 几乎毫无贡献。相对地，物理学家不仅不注意数理逻辑（可以理解），或解析数论（一向如此），也根本不在乎正萌芽的代数拓朴。三十年后，拓朴学已经成为两阵营的共同主题。有些吊诡地，数学这边从这些互动的收获大过物理那边的收获：新的三维与四维流形的不变量，量子群，量子上同调群（quantum cohomology）就是互动的成果。

我不知道马宁为何说数学与物理在 1960 年代又开始来往，我以为就量子场论这主题而言，两者其实是到了 1970 年代中期才因规范场论、手征性异征、瞬子、指标定理等主题的发展方再相互靠近。不过这不是要点，我重视的是马宁说直到 1960 年代，数学家对于量子场论这重要物理领域「几乎毫无贡献」这回事。我想马宁所说的是事实。

事实上，就算是在 1960 年代之后以至今日，数学家对于量子场论的贡献仍然极为有限。一个例证就是德利涅对于这二、三十年来物理与数学的交流的一些感想 —— 他在我之前提到的访问记录中有这么一段话：
物理学家会定期地提出一些令人意外的猜测，大多是藉由完全不合法的工具。但是至目前为止，每当他们做了预测，例如对于某个曲面上，具有某些性质的曲线之个数的某些数值预测 —— 这些数字都很大，或许上百万 —— 他们都是对的！有时候，物理学家的预测与数学家之前的计算不相符，但是最后证明物理学家还是对的。我想他们看到了一些真正有意思的东西，但是我们至今还捉摸不了他们的直觉。有时候他们做了预测，数学家所能做的就是挤出一个笨拙的证明，但还是无法有深刻的理解。事情不应该是这样子的。我们在普林斯顿高等研究院与物理学家共同举办了一些研讨会，我的愿望就是能够在不依赖威腾（Edward Witten）的情况下，有办法自行做出一些猜测。但我做不到！我对他们的图像的了解还不足以让我这么做，我依旧必须依赖威腾来告诉我什么才应该是有趣的。


威腾（油画照片来源：蕉岭丘成桐国际会议中心）

德利涅与威腾等人主持的跨领域研讨会的记录后来还出版成两大册共约一千五百页的书《量子场与弦：给数学家的课程》（Quantum Fields and Strings: A Course for Mathematicians），可见德利涅真的投入不少精力学习物理。如果连德利涅都觉得无从掌握量子场论（与弦论）的精神，一般数学家当然更难对于场论（弦论）的进展有所助益。

其实在 1930 年代量子场论刚起步的时候，数学家如魏尔（Hermann Weyl）仍可以对于场论有独到的贡献。例如当狄拉克还以为可以将质子看待成电子的反粒子之时，魏尔就指出场论（与狄拉克方程式）的数学逻辑要求电子与其反粒子必须有相同的质量。后来实验学家找到了电子的反粒子 —— 正子，其质量果然等于电子质量！不过在魏尔这项贡献之后，场论重要文献中除了一两个例外（见下文）几乎就看不到数学家的名字了。


魏尔（油画照片来源：蕉岭丘成桐国际会议中心）

为何如此？除了如马宁所说两阵营的交流在这段时间是中断的之外【注：例如，格罗腾迪克根本无须理会物理，虽然他也曾花时间读费曼的书，见《美国数学学会会讯》2010 年 10 月号〈追忆格罗腾迪克及其学派〉（Reminiscences of Grothendieck and his school）一文】，我想还有一个重要原因，那就是虽然量子场论的基本数学架构已经由海森堡（Werner Heisenberg）、泡利、狄拉克等人建立起来，但是这门学问在 1930 年代后的重大进展都不是纯粹靠逻辑推理就能够达成的，若没有实际物理现象的启发，量子场论学家根本无从想像那些现代场论不可或缺的核心概念。尽管这段时间还是有一些一流数学家努力钻研量子场论，他们终究没获得什么有意思的成果，不过我以为这是可以预期的。


狄拉克（左），泡利（中）摄于 1953 年
（照片来源：伦敦科学博物馆）

我现在以具体的例子来说明这种「经验（现象）压过理性（逻辑）」的状况。二十世纪下半叶量子场论最重要的成果即是确立了自发失称（或译自发对称破缺，简称 SSB）与重整群（简称 RG）这两个核心主题。如果没有 SSB 与 RG，粒子物理中非常成功的标准模型根本不可能出现。

我先介绍 SSB。SSB 指的是描述一个系统的拉格朗日函数（Lagrangian）以及其所意涵的量子场方程式具有某种对称性，但是此系统的基态（最低能量态）却不具有拉格朗日函数所拥有的对称性。我们知道对于有限自由度（维度）的系统来说，基态必然呈现方程式的对称性，例如氢原子的基态波函数（S 轨域）在旋转变换之下不会改变，即基态具有薛定谔方程式所拥有的旋转对称。但是在具有无穷自由度（无穷维）的系统如场论中，基态却不必然呈现拉格朗日函数的对称性。

SSB 最重要的范例之一是超导现象。在场论中，所有的电子都是同一个所谓「电子场」的量子（激发态），描述超导体内电子交互作用的拉格朗日函数是电子场的函数。这个函数有个特性：若电子场乘上 U(1) 群的任一元素，亦即电子场乘上一个所谓的相因子（phase factor），则此拉格朗日函数维持不变，以术语说，此拉格朗日函数有 U(1) 对称性。

在 1957 年，巴丁、库珀与施里弗（J. Bardeen, L. Cooper & J.R. Schrieffer，简称 BCS）三人写下了一个波函数，他们证明这个波函数可以精确描述超导体的一切性质，例如能隙（energy gap）的存在，因而破解了困扰物理学家 45 年的超导之谜。但令人不安的是这个波函数并没有 U(1) 对称，更具体的讲，这个波函数并没有单一固定的电子数目，反而是由带有不同电子数目的状态所组合起来的。为什么 U(1) 对称与电子数目有关？答案在著名的诺特定理：数学家诺特（Emmy Noether）在 1915 年证明了一个系统的拉格朗日函数若具有某个连续对称，则这个系统就有个相对应的守恆量。知名的例子包括空间平移对称所对应的守恆量是动量，旋转对称所对应的守恆量是角动量，时间平移对称所对应的守恆量是能量等。依据诺特定理，超导体拉格朗日函数的 U(1) 对称所对应的守恆量正是电子数目。所以 BCS 波函数没有明确的电子数与它没有 U(1) 对称是一体的两面。


诺特（油画照片来源：蕉岭丘成桐国际会议中心）

但是物理学家已经知道电子数目必须是守恆的，否则电子与光子就无法有适当的交互作用。如果电子数在 BCS 的理论中是不守恆的，这不就意味着 BCS 理论有着根本的缺陷？南部阳一郎（Yoichiro Nambu）花了近两年的时间研究了这个问题，他在 1959 年发现 BCS 理论其实还存在着一种不带质量的粒子（术语是集体模态，collective mode），一旦把这种粒子考虑进来，电子数目便还是守恆的。（另外安德森（P.W. Anderson）等人也知道这个结果。）所以南部证明了 U(1) SSB 的确发生于 BCS 理论之中，并且没有任何不合理的矛盾存在。南部的论文一出现，戈德斯通（J. Goldstone）很快地就将他的发现推广成一般的定理：如果 SSB 发生于任何系统，则系统中一定存在着一个与之相对应的零质量粒子。（这个粒子现今就称为南部-戈德斯通粒子。）

南部从 BCS 超导体理论学到了 SSB，更进一步想到可以将这个概念推广至强相互作用。他先假设强子（质子与中子）最初是无质量的粒子，而且强子之间的交互作用类似于 BCS 理论中电子间的作用，接着以 BCS 模型为本，建构了一个强作用模型；BCS 模型有 U(1) 对称，南部的模型则有所谓的手征对称（chiral symmetry，这个对称要求强子不能带有质量），但是依据 SSB 的精神，此手征对称仅成立于南部模型的拉格朗日函数中，然而基态则不会表现出手征对称，其后果是质子与中子将因此而获得质量，这个状况类似于能隙出现于超导体之中。南部同时证明他的模型也含有一个零质量粒子，他把这个粒子看待成强作用中的 π 介子（亦即 π 介子是手征对称自发失称后所出现的南部-戈德斯通粒子）。南部的理论澄清了强作用中某些令人费解的现象，因此大家马上认同 SSB 也出现于强作用中。

长久以来，强作用一直是量子场论最头痛的问题，没人能预见解决其中某些关键点的灵感居然会来自超导现象，而不是来自于数学的发展。对于无穷维系统，纯逻辑性的探究没法让我们看清事物的本性，若非有实际现象的启发，我们根本挖掘不出这些超越我们直觉的本性。

SSB 的故事在南部与戈德斯通的工作之后，还有重要的后续发展，那就是安德森、恩格勒（F. Englert）、布劳特（R. Brout）、希格斯（P. Higgs）等人以及南部本人体认到如果呈现 SSB 的对称是一种规范对称（gauge symmtery），那么本来应该存在的南部-戈德斯通粒子会和原本零质量的规范粒子结合成为带有质量的（向量）粒子。这就是近年来因为希格斯粒子的发现而广为人知的所谓「希格斯机制」。温柏格（S. Weinberg）等人将此机制用于弱交互作用使其成为标准模型的根基之一。


南部阳一郎（照片来源：Wiki）

RG（重整群）是场论在二十世纪后半叶的另一项重要成就，它主要是由威尔森（Kenneth Wilson）在 1960 年代中期至 1970 年代初所建立起来的，现今已成了研究场论不可或缺的工具。事实上可以这么说，唯有透过 RG，我们才能真正理解到底什么是量子场论。这里头有曲折的故事，我无法在此解说，只想强调现代 RG 的诞生与对于临界现象（critical phenomena）的研究密不可分，RG 的核心概念大多来自临界现象的启发。人们后来将 RG 应用于杨-米尔斯规范场论，才发现杨-米尔斯场论有渐进自由（asymptotic freedom）的特性，从而建立了现代强作用理论 —— 量子色动力学（quantum chromodynamics）。

从 SSB 与 RG 的发展历史可知，面对无穷维系统的挑战，量子场论学家得益于凝体物理系统（超导体与临界现象）之处远大于严谨的数学。许多场论新观念是由实际现象归纳出来的，由上而下的演绎似乎派不上用场。这种情况和量子力学的创立虽有类似之处，但其实并不相同。在海森堡创立量子力学之时，他也是必须由实际现象出发，去推测自然规律，但是在他之前我们对于这些规律一无所知。可是量子场论的基本方程式自 1930 年代已经为人所知，所以我们或许会期待这些方程式的解是个数学可以着力的问题，然而历史显示，一切有意思的解都来自实际现象的引导，数学终究没能帮上大忙。


法捷耶夫（照片来源：Wiki）

不过数学家还是有所贡献，最好的例子应该是法捷耶夫（L. Faddeev）与波波夫（V. Popov）在 1967 年用费曼路径积分方法将杨-米尔斯规范场给量子化的工作。在法捷耶夫与波波夫之前，费曼已经有了适用于单回圈图（one loop diagram）的初步结果，而德维特（B.S. DeWitt）也已得到适用于多迴圈图（all loop）的完整答案，但是法捷耶夫与波波夫的推导最简单清楚，所得到的所谓费曼法则（Feynman Rule）最容易使用，因此影响力最大。所以数学对于厘清技术性的困难还是有其威力，只是对于较无从捉摸的动力学（dynamics）就使不上力。


赛伯格（照片来源：Lumidek）

大约二十年前，赛伯格（N. Seiberg）与威腾对于某些超对称规范场论的研究导至所谓「赛伯格-韦顿方程式」，后来这些方程式成为处理某些纯数学问题的最佳工具。若没有 SSB 与 RG 的概念为基础，赛伯格与威腾不可能完成他们的工作，所以「以自然为师」对于物理来说固然是本业，对于数学而言，似乎也是好事，这也意味着经验与理性有着深不可测的关系。