怎样用分部积分法求不定积分 ∫√(a^2-x^2)dx ？

wufaxian

请看上图红线部分，明显是用了分步积分。应该是把 根号下 拆成了。平方*(1/根号下)。但是无论怎么换u和v。还是无法通过分步不积分得出第二根红色下划线的结果。请问这道题应该怎么用分步积分来解？

zytsang

使用换元积分法\(\,x=2\sin(u)\,\)，有
\[u=\arcsin{\frac{x}{2}},\quad\mathrm{d}x=2\cos(u)\,\mathrm{d}u\]
原积分变为
\[\begin{aligned}
\int3\sqrt{4-x^2}\,\mathrm{d}x
&=12\int \cos{(u)}\sqrt{1-\sin^2(u)}\,\mathrm{d}u \\
&=12\int \cos^2(u)\,\mathrm{d}u \\
&=6\cos(u)\sin(u)+6u+C \\
&=\frac{3}{2}x\sqrt{4-x^2}+6\arcsin\frac{x}{2}+C \\
\end{aligned}\]

luyuanhong