与复数 z 对应的点 P 在复平面的第二象限，且 ｜z｜=1 ，求 ｜z^3+z^2+z+1｜ 的最大值

wintex

718請問數學

波斯猫猫

题：设复数 z 满足 ｜z｜=1 ，求 ｜z^3+z^2+z+1｜ 的最大值 。

思路：因｜z｜=1 ，可令z=cosθ+isinθ。

故｜z^3+z^2+z+1｜=｜1-z^4｜/｜1-z｜=｜1-cos4θ-isin4θ｜/｜1-cosθ-isinθ｜

=√[(1-cos4θ)^2+(sin4θ)^2]/｜√[(1-cosθ)^2+(sinθ)^2]=√[8（1+cosθ）（cosθ）^2]≤4

（当且仅当θ=2kπ（k∈Z）时，等号成立）。

注：复数 z 对应的点 P 在复平面的第二象限？

luyuanhong

波斯猫猫

思路：因｜z｜=1 ，可令z=cosθ+isinθ。

故｜z^3+z^2+z+1｜=｜1-z^4｜/｜1-z｜=｜1-cos4θ-isin4θ｜/｜1-cosθ-isinθ｜

=√[(1-cos4θ)^2+(sin4θ)^2]/｜√[(1-cosθ)^2+(sinθ)^2]=√[8（1+cosθ）（cosθ）^2]。

而y=（1+cosθ）（cosθ）^2=（cosθ）^3+（cosθ）^2，

所以，由y′=-3（cosθ）^2sinθ-2cosθsinθ=-cosθsinθ（3cosθ+2）=0，且2kπ+π/2＜θ＜2kπ+π

（k∈Z）时，有cosθ=-2/3。

从而｜z^3+z^2+z+1｜max=√[8（1-2/3）（-2/3）^2]=4√6/9.

注：复数 z 对应的点 P 在复平面的第二象限!？

luyuanhong

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