在平面直角坐标系中任取三个点，分别求这三个点连成锐角三角形和连成钝角三角形的概率

ph3

请问在平面直角坐标系中任取3个点，这三个点组成的三角形是锐角三角形的概率大还是钝角三角形的概率大？这两种三角形的比例又是多少？

lihp2020

不给定范围  这个 感觉没法算 平面坐标无限大

如果真的可以
平面直角坐标系中任取2个点  再在平面找1个点 组成 三角形 的概率 和原题 应该是等价的

那么  以这两点连接成线段为直画圆  再分别画两个垂先  如图

只有紫色的才能是锐角   我只能说 锐角的概率是几乎是0？
想起了以前的一个问题 在实数范围内 随机选一个是是有理数的概率

lihp2020

由于没给范围 就是可以无限延伸出去

ph3

直观上理解似乎是这样的。不过，锐角每个概率几乎是零，但无限和无穷小相加得到的最后结果我难以确定。不知道有没有严谨的论证呢？

ph3

无限个无穷小，打错了

cgl_74

证明不严谨，先删除

cgl_74

下面的证明方法有误！不能简单的把A点放原点，B点放X轴上处理。

先不删除，供讨论。
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很有意思的问题。
我再次认真思考了一下，修改了一些不正确的假设，重新计算，得到锐角三角形的比例在0.185左右。

方法供讨论，也可能存在没料到的错误。分析逻辑就是这样的了。

cgl_74

自己再想想，改正了一些错误假设，重新计算。方法和逻辑供讨论，可能也有意想不到的错误。锐角三角形比例在0.185左右。

Nicolas2050

圆周上任取3点，构成锐角三角形的概率
设圆心为O，第1个点A固定，第二个点B的选取应令角AOB＜180度，为方便表示设该角为α，α的概率密度为1/π，分别作A点,B点关于圆心O的对称点A',B'，则C点应位于弧A'B'之间，概率为α/(2π)，1/π*α/(2π)对α积分得α^2/(4π^2)，在0~π定积分得π^2/(4π^2)=1/4。
圆周上任取3点，构成钝角三角形的概率
易得3/4
圆周上任取3点，构成直角三角形的概率=0

Ysu2008

在矩形封闭区域内，坐标值服从连续均匀分布，锐角三角形出现概率与矩形区域的长宽比有关。

模拟结果：

(一)长宽比 1:1
x ∈ (0.0 , 1.0) , y ∈ (0.0 , 1.0)
锐角三角形数:2748181 , 占比: 0.2748181
钝角三角形数:7251819 , 占比: 0.7251819
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x ∈ (0.0 , 10.0) , y ∈ (0.0 , 10.0)
锐角三角形数:2750752 , 占比: 0.2750752
钝角三角形数:7249248 , 占比: 0.7249248
------------------------------------------------
x ∈ (0.0 , 100.0) , y ∈ (0.0 , 100.0)
锐角三角形数:2744789 , 占比: 0.2744789
钝角三角形数:7255211 , 占比: 0.7255211


(二)长宽比 1:2
x ∈ (0.0 , 1.0) , y ∈ (0.0 , 2.0)
锐角三角形数:2014762 , 占比: 0.2014762
钝角三角形数:7985238 , 占比: 0.7985238
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x ∈ (0.0 , 5.0) , y ∈ (0.0 , 10.0)
锐角三角形数:2016236 , 占比: 0.2016236
钝角三角形数:7983764 , 占比: 0.7983764
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x ∈ (0.0 , 50.0) , y ∈ (0.0 , 100.0)
锐角三角形数:2016265 , 占比: 0.2016265
钝角三角形数:7983735 , 占比: 0.7983735


(三)长宽比 1:5
x ∈ (0.0 , 1.0) , y ∈ (0.0 , 5.0)
锐角三角形数:678611 , 占比: 0.0678611
钝角三角形数:9321389 , 占比: 0.9321389
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x ∈ (0.0 , 10.0) , y ∈ (0.0 , 50.0)
锐角三角形数:676937 , 占比: 0.0676937
钝角三角形数:9323063 , 占比: 0.9323063
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x ∈ (0.0 , 100.0) , y ∈ (0.0 , 500.0)
锐角三角形数:677625 , 占比: 0.0677625
钝角三角形数:9322375 , 占比: 0.9322375