如何用泰勒级数求积分？？？？

wufaxian

“对于实际问题,数据往往是复杂的,算式也往往是冗长的,对于不易积分,不易求导的实际问题,我们怎么去求其高精度的近似解呢?那么就需要引进级数这一概念,例如将不易找到原函数的函数进行Taylor展开再逐项积,再例如利用Newton差值法计算方程的近似解。”

---------------以上是我看到的一段文字。在3B1B的视频中也提到泰勒级数用于求导特别好用。我目前所学的泰勒级数是用泰勒级数去“拟合”一个函数。例如求sinx的泰勒级数。这过程中就涉及到对sinx求导，那么何来“泰勒级数用于求导特别好用”。所谓“泰勒级数用于求导特别好用”，我的理解是某个函数求导数不好求，于是我用泰勒级数做工具，来求他导数的近似值。可是泰勒级数展开本身就要求导。这不是越搞越复杂了？

                     其次上面文字“将不易找到原函数的函数进行Taylor展开再逐项积”，我的理解是有些积分通过求原函数的方法求不定积分再求数值解，这条路不好走。于是变通一下，用泰勒级数求近似数值解。但是怎么求呢？感觉泰勒级数和积分没甚么关系啊！！！！可否请老师给个例子或者方向。或者推荐一本有关以上问题的好书，我自己再去学习一下。

xfhaoym

在实际生活中，我们遇到 的问题比书本上难得多！太多的函数是不能用积分来解决，因为被积函数不是初等函数。所以可用数值积分或是误差积分等，就是求近似值。

wufaxian

xfhaoym 发表于 2021-7-12 17:23
在实际生活中，我们遇到 的问题比书本上难得多！太多的函数是不能用积分来解决，因为被积函数不是初等函数 ...

嗯嗯，请问有什么入门的例子或者相关的书籍说明这方面的内容么？或者以上内容属于哪个数学分支。

luyuanhong

下面是我过去在《数学中国》发表过的两个帖子，可供参考：

wufaxian

luyuanhong 发表于 2021-7-12 19:15
下面是我过去在《数学中国》发表过的两个帖子，可供参考：

明白了。凡是不能用有限初等函数形式表达的。我们就用“无限”初等函数的积分去累加近似求得积分数值。请问lu老师，这类问题属于哪个数学分支？