C 是平面 2x+3y-z=0 与圆柱面 x^2+y^2=12 的交线，证明 F=xi+yj+zk 绕 C 的环量为零

wufaxian · 发表于 2021-7-22 19:53

本帖最后由 wufaxian 于 2021-7-24 18:09 编辑

请看上题13.2 第41题。第一步我觉得应该求出交线的向量方程。否则后续无从谈起。不知道应该怎么求呢？通过法向量可以求空间曲线的方程么？

liangchuxu · 发表于 2021-7-23 19:11

向量的方向余弦，供参考

wufaxian · 发表于 2021-7-23 21:15

liangchuxu 发表于 2021-7-23 19:11
向量的方向余弦，供参考

谢谢回复。

\(\cos y=\left| \frac{\overrightarrow{n}\overrightarrow{oz}}{\left| \overrightarrow{n}\right|}\right|\)

请问 \(\overrightarrow{n}\)和\(\overrightarrow{oz}\) 之间是点乘么？另外。既然y是 \(\overrightarrow{op}\)与z轴的交角。那么cosy为什么以\(\left| \overrightarrow{n}\right|\) 为分母呢？

liangchuxu · 发表于 2021-7-23 21:56

以下做个说明：

wufaxian · 发表于 2021-7-23 22:26

liangchuxu 发表于 2021-7-23 21:56
以下做个说明：

证明的开头说到γ是\(\overrightarrow{op}\)与z轴的夹角。后面cosγ为什么又变成\(\overrightarrow{oz}\)和\(\overrightarrow{n}\)的点积夹角了？\(\overrightarrow{oz}\)和\(\overrightarrow{n}\)的夹角应该是和γ互余才对。所以这点有些跟不上你的思路。还请指教。

liangchuxu · 发表于 2021-7-24 03:33

画个图，帮助分析。

wufaxian · 发表于 2021-7-24 04:28

liangchuxu 发表于 2021-7-24 03:33
画个图，帮助分析。

看这图好像是\(\overrightarrow{n }\)和z轴的夹角是γ

liangchuxu · 发表于 2021-7-24 05:31

wufaxian 发表于 2021-7-24 04:28
看这图好像是\(\overrightarrow{n }\)和z轴的夹角是γ

对的，这个图形巧在平面过原点O，直线段OP在平面上，所以，|z|=OPsin（GaMa)

wufaxian · 发表于 2021-7-24 06:09

liangchuxu 发表于 2021-7-24 05:31
对的，这个图形巧在平面过原点O，直线段OP在平面上，所以，|z|=OPsin（GaMa)

可是在你第一条回复中说γ是op与z轴的夹角。这与γ是\(\overrightarrow{n }\)与z轴的夹角不矛盾么？以上是我不理解的地方。

liangchuxu · 发表于 2021-7-24 08:53

感谢你仔细核对一下，先前有些错误。改正：

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C 是平面 2x+3y-z=0 与圆柱面 x^2+y^2=12 的交线，证明 F=xi+yj+zk 绕 C 的环量为零

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