x，y，z，n 均为非负整数，求满足 2^x+3^y+5^z=n！的所有解

myyour

x，y，z，n均为非负整数，求满足2^x+3^y+5^z=n！的所有解。

杨协成

当 \(n\leq4\)时，存在3组解
\[(a,b,c,n)=(2,0,0,3)\]
\[(a,b,c,n)=(1,1,0,3)\]
\[(a,b,c,n)=(4,1,1,4)\]

当 \(n\geq5\) 时，使用模\(5!=120\)，有
\[\begin{aligned}
&2^a\equiv\{1,2,4,8,16,32,64\}\mod{120}  \\
&3^b\equiv\{1,3,9,27,81\}\mod{120} \\
&5^c\equiv\{1,5,25\}\mod{120} \\
&n!\equiv 0\mod{120}
\end{aligned}\]
检查可知，\(2^a,3^b,5^c\mod{120}\) 任意三个元素之和不为零，即
\[2^a+3^b+5^c\not\equiv 0\mod{120}\]
所以，当 \(n\geq5\) 时，原方程无整数解。

luyuanhong

楼上 杨协成 的解答很好！已收藏。