混检：跑赢病毒的得力法宝

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混检：跑赢病毒的得力法宝

作者 | 某只川老鼠

编辑 | 椭圆

来源 | 椭圆说

1  混检是什么神奇的东东？

7月21日早上刚醒的时候，迷迷糊糊打开手机，只见一条消息：“南京禄口机场定期核酸检测查出9份阳性样本”。一瞬间，我就不困了。

事实证明，从那时起，国内的疫情防控形势彻底改变，而我作为南京人，更是深受其影响。为了防控疫情，南京已经进行了3轮全员+2轮局部核酸检测，并且还在计划进行更多轮。而疫情传播到的其他城市也采取了类似的措施。毕竟只有靠充分的检测，咱才能跑在小病毒前面嘛。

只是，做检测时，我注意到了一个细节：一般全员检测都不是使用单人单检, 而是使用混检。一般来说, 混检由两步组成：

● 先把所有需要检测的人员每 n 个人分成一组（n≥2 , 例如南京使用 n=10）, 每一组的全部样本混合起来检测；

● 对于所有出现阳性的样本组，再对样本组里的成员单独进行一次检测，以确定到底是谁感染了病毒。

混检为什么那么香？

“全员检测”，说起来容易，做起来可不容易。南京是一个有着900多万人口的大都市，如果全部使用单人单检，恐怕检测人员面对着漫山遍野的检测管也只能一筹莫展了，多来个几轮市政府的钱袋子可能也要空了。

而混检最大的作用就是可以减少化验次数从而加快检测速度和降低成本。

单人单检时，平均每个人都要化验一次。我们现在来看看混检时平均每个人化验多少次。设病毒的阳性率为 p∈(0,1)，假设分组完全随机，且假设城市人口远大于 n 。我们不妨试图写出每个人平均需要化验的次数：


那么， 一个数学问题就出来了：给定 p，请问 n 取多少时，平均化验次数最少？

2  衣带渐宽终不悔，单调性让人憔悴

失败的“观察法”和 "无能"的导数



这么一来，就算你有千里眼，“观察法”也根本行不通。

凭借高考数学最后一题的经验，我脑瓜一转，又想到了分析函数单调性的终极神仙：导数君。



最“普通”的办法：作差



为了更直观，图1中我给出了时随变化的图像作为例子。可以看到，完美地按照我们的预报一样，随着的增大先钻出地面，再下潜。



放 n 出来跑？可以！不过……

在之前的讨论中，p 活蹦乱跳，而 n 却被我们晾在一边观战。想必此时 n 的心情和因为疫情呆在家不出门的我一样。

好吧，既然这样，咱就放它出来！不过，我们现在能力还有限，这么做的代价就是，我们必须把 p 限制住。





终于可以把 p 和 n 都放出来啦！









3  是时候收网了！







4  课代表总结发言来啦！

在写这篇文章之前，我怎么也没有想到，一个看似简单的表达式可以写出这么多的东西。

因此，为了让大家记住最核心的结论，我，这个不知名的课代表，给大家总结一下，记得记笔记哦！



5  小提醒：现实可能更复杂

尽管这篇文章写下来，我已经感觉塌了一层皮，但是在文章的结尾，还是想提醒各位小伙伴，和现实情况相比，这个模型还是做了不少简化：

根据最近南京市爆出来的病例分布，我相信，江宁区的阳性率应当是南京全部13个区县中最高的。而南京市的核酸检测是基于社区进行的，因而就局部来说，或许把阳性率认为是常数，是有一些简化的。按照公式，或许江宁区应当使用更小的 n，但这样样本数不统一没准会让管理更困难，也不见得合算。

在整篇文章中，我们都假设检测是绝对准确的。但现实生活中，任何的检测试剂都可能存在将阴性误判为阳性，或反过来的情况。因而，本文的模型只是对最理想最简单的情况的描述。而且，文中讨论的混检方法也不见得是唯一的混检方法。

6  最后的最后

祝这一轮疫情早点结束！

偷偷摸摸说一句……