用泰特猜想证明四色猜测

雷明85639720

用泰特猜想证明四色猜测
雷  明
（二○二一年八月九日）

四色问题的提出是由于对地图的染色而引起，要解决这一问题还得从地图入手。地图是一个无割边的连通的3—正则平面图，地图的对偶图就是极大的平面图。对地图中区域（面）的染色就是对其对偶图的顶点着色。
1、泰特猜想是正确的


泰特的猜想是可3—边着色的无割边的连通的3—正则平面图一定是可4—面着色的。图1，a是一个已用1、2、3三种颜色进行了可3—边着色的无割边的连通的3—正则平面图，其对偶图是（如图1，b和图2的三图）是一个极大的平面图。图1，b和图2中各图边上所标注的颜色就是图1，a的3—正则平面图中相应的边所用的颜色。

从图2中各图可以看出，每个图都是由两条以上的同一色线路构成的。把各图中的一条同一色线路上的顶点分别用红、黄两种颜色着上颜色，把另一条同一色线路上的顶点也分别用兰、绿两种颜色着上颜色，正好也就对地图的对偶图——极大平面图的4—着色完毕。若把图2中各顶点的颜色，染到地图中的相应面中去时，地图的4—染色也就完成了（如图1，图3、图4。各图中的b图中各顶点的颜色都是与图2中各图中顶点的颜色是相同的）。

从图1，图3和图4中可以看出，各极大图中各顶点的颜色与各地图中各区域（面）的颜色都是对应相同的，并且都是只用了四种颜色。这就证明了泰特猜想是正确的：即可3—边着色的无割边的连通的3—正则平面图一定都是可4—面着色的。也证明了任何极大平面图也都是可4—面着色的。这个把极大图中相间的同色线路上的顶点分另用两种颜色着色的证明方法是由山西的韩文镇提出的。我也认为这个方法很好。但还说不明白这其中的必然内在关系，我想这大概也与韦斯特和徐俊证明时用的颜色叠加法相仿吧！
2、任何无割边的连通3—正则的平面图都是可3—边着色的
为了不失一般性，在证明时，我们采用了把部分的3—正则平面图中的某一个面变成两个面，使图中的总面数由n变成n＋1的归纳证明法。如果在一个面的不同的两条边上各增加一点且用边相连，该面就变成为两个面，该两条边也就变成为两条边。相当于全图中增加了一个面三条边两个顶点。

可3—边着色的无割边的连通的3—正则平面图中的每一种颜色的边，都可与其他的两种颜色的边分别构成边二色（偶）圈（如图5），且图中的每一个面都是处在某一个边二色圈中的（如图6）。
在同一个边二色圈内的同一个面内的两条边是各增加一个点a和b，并且连成边，则这个面就成了两个面（如图7）。从这两个点a和b的同一侧交换边二色圈中的两种颜色1和2，把a—b边着上第三种颜色3就可以了（如图8）。仍是一个3—正则的平面图，也同样是处在同一个边二色圈内，仍是可3—边着色的。这种交换的办法可叫作“半二色圈交换法”。


如图9的情况，是在1、2两种颜色的边二色圈上有一个点b，但另一个点b却不在这个边二色圈上（如图9），但实质上a，b两点又是处在另一个1、3两种颜色的边二色圈上（如图9中的虚线边二色圈）。同样的在这个边二色圈上在a、b两点同一侧交换两种颜色1和3，把a—b边着上第三种颜色2也就可以了（如图10）。图也仍是一个3—正则的平面图，也同样是处在同一个边二色圈内，仍是可3—边着色的。
与图9的情况相类似，只要a、b两点不是处在同一个边二色圈上，一定要想办法把其转化成a、b两点处在同一个边二色圈上的情况，再按上面a、b两点处在同一个边二色圈上的情况进行处理。a、b两点处在不同的边二色圈上的情况又可分为两种，一种是a、b两点所在的圈是相同颜色的边二色圈，其中还可分为a、b两点所在的边是相同的颜色，一种是a、b两点所在的边是不同的颜色；另一种是a、b两点所在的圈是不同颜色的边二色圈，其中也分为a、b两点所在的边是相同的颜色和不同的颜色两种。
处理这些种不同类型的情况时，首先要确定把a、b两点往哪种边二色圈上放的问题，确定好后，再按可3—边着色的3—正则平面图的以下的特点：① 图的任何颜色的一条边，都可以与其他的两种颜色的边构成边二色圈，且都一定是偶圈。② 任何一个边二色圈中的两种颜色可以互换，互换后仍是同种类型的边二色圈。③ 任何一条边都至少是处在两个不同的边二色圈上。想办法进行交换，使得a、b两点最后处在同一个边二色圈上。


图11 是一个a、b两点是处在不同的1、2两色的边二色圈上、分别所处的边的颜色又相同，a—b边所在的面是奇数边面的情况。点a虽处在1、2边二色圈上，但也可以处在2、3边二色圈上（如图13）；点b虽是处在1、2边二色圈上，但也可以处在2、3边二色圈上（如图14）。我这里选择将要把a、b两点放在同一个2、3边二色圈上（如图12）。现在换色如下：
第一步，把图11中b点经过的2、3连二色圈进行交换（如图15）；
第二步，把图15中的1、2边二色圈进行交换（如图16），这时，a、b两点就处在了同一个2、3连二色圈上了；

第三步，把图16中a、b两点上侧的2、3边二色圈进行半边二色圈的交换（如图17）；
第四步，把图17中未着色的a—b边着上第三种颜色1（如图18）即可。图仍是可3—边着色的3—正则平面图。

以上是a、b两点是处在不同的、由相同的两种颜色构成的边二色圈上、且分别所处的边的颜色又相同，a—b边所在的面是奇数边面的情况的着色。同样的，对于a、b两点是处在不同的、由不同的两种颜色构成的边二色圈上、分别所处的边的颜色又不相同，a—b边所在的面是偶数边面的情况，用朵的方法也是可以处理的。结果都是可3—边着色的3—正则的平面图。
3、四色猜测的证明
以上就证明了任何三正则图（地图），也都一定是可3—边着色的。加上泰特猜想是正确的——可3—边着色的3—正则平面图一定是可4—面着色的，这也就证明了地图的四色猜测是正确的。同时也就证明了极大平面图的四色猜测也是正确的。由极大平面图经去顶和减边得到的任意平面图的四色猜测也就是正确的了。

雷  明
二○二一年八月九日于长安

雷明85639720

，，，，，，，，

雷明85639720

，，，，，，，，

雷明85639720

，，，，，，，，

雷明85639720

,,,,,,,,,,,,,,,

雷明85639720

，，，，，，，，，，

雷明85639720

，，，，，，，，

雷明85639720

1、说说是为什么？不说个张倒李胡子，就直接否定，有什么根据呢？
2、我证明不了，请你也拿出你的证明来吧！

雷明85639720

胡说八道些什么呢！

朱明君

四色定理
二维平面不存在交叉直线，只存在共点直线。
证明
计算二维平面图中3边形的个数
设:二维平面图中的顶点数的个数为x，
其中平面图中外围顶点个数为z，
则(x-2)十(x-z)=n(个)。