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证明 √2 是无理数

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发表于 2021-8-12 22:06 | 显示全部楼层 |阅读模式
请证明√2是无理数
发表于 2021-8-12 22:20 | 显示全部楼层
最经典是用反证法:假设根号2是有理数,则根号2可写成两互质的整数分数形式

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 楼主| 发表于 2021-8-13 09:56 | 显示全部楼层
为什么是英文
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发表于 2021-8-13 11:00 | 显示全部楼层
再来 如何证明 π和e   是无理数
还有 0.101001000100001000001.... 是无理数??
还有sin cos 特定度数 也是无理数 (这个好像很简单)
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发表于 2021-8-13 15:13 | 显示全部楼层
  证明 √2 是无理数。

  用反证法。

假设 √2 是有理数,则必有 √2 = m/n(m、n 为不为零的整数,m、n 互质)。

所以 (m/n)^2 = (√2)^2 = 2 。

即有 m^2/n^2 = 2 ,m^2 = 2n^2 。

可见 m^2 是一个偶数,所以 m 也必定是偶数。

设 m = 2k(k 是整数)。

则有 2n^2 = m^2 = (2k)^2 = 4k^2 ,n^2 = 2k^2 。

可见 n^2 是一个偶数,所以 n 也必定是偶数。

但因为 m、n 互质,显然 m、n 不可能都是偶数。

这就发生了矛盾,所以假设不成立。

√2 不可能是一个有理数,它必定是无理数。
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 楼主| 发表于 2021-8-13 16:58 | 显示全部楼层
那证明√3的时候就没有偶数奇数的说法了,那又怎么证明啊?
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发表于 2021-8-13 18:15 | 显示全部楼层
证明√3是无理数。
证用反证法。
假设√3是有理数,则必有√3 = m/n (m、n为不为零的整数,m、n互质)。
所以(m/n)^2 = (√3)^2= 2。
即有m^2/n^2 = 3 , m^2 = 3n^2。
可见m^2是一个3的倍数,所以m也必定是3的倍数。
设m= 3k (k是整数)。
则有3n^2 = m^2=(3k)^2 = 9k^2 ,n^2 = 3k^2。
可见n^2是一个3的倍数,所以n也必定是3的倍数。
但因为m、n互质,显然m、n不可能都是3的倍数。
这就发生了矛盾,所以假设不成立。
√3不可能是一个有理数,它必定是无理数。

就把陆老师的解答的 偶数 换成 3的倍数   就好了
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发表于 2021-8-13 20:06 | 显示全部楼层
本帖最后由 liangchuxu 于 2021-8-13 20:48 编辑

尝试用另一种方法,供参考

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 楼主| 发表于 2021-8-13 20:30 | 显示全部楼层
应该可以证明普遍性:证明√d(d不是平方数)是无理数。
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