证明 √2 是无理数

曹子昂

请证明√2是无理数

popo987654

最经典是用反证法：假设根号2是有理数，则根号2可写成两互质的整数分数形式

曹子昂

为什么是英文

lihp2020

再来 如何证明 π和e   是无理数
还有 0.101001000100001000001.... 是无理数？？
还有sin cos 特定度数 也是无理数 （这个好像很简单）

曹子昂

有点难度

luyuanhong

题  证明 √2 是无理数。

证  用反证法。

假设 √2 是有理数，则必有 √2 = m/n（m、n 为不为零的整数，m、n 互质）。

所以 (m/n)^2 = (√2)^2 = 2 。

即有 m^2/n^2 = 2 ，m^2 = 2n^2 。

可见 m^2 是一个偶数，所以 m 也必定是偶数。

设 m = 2k（k 是整数）。

则有 2n^2 = m^2 = (2k)^2 = 4k^2 ，n^2 = 2k^2 。

可见 n^2 是一个偶数，所以 n 也必定是偶数。

但因为 m、n 互质，显然 m、n 不可能都是偶数。

这就发生了矛盾，所以假设不成立。

√2 不可能是一个有理数，它必定是无理数。

曹子昂

那证明√3的时候就没有偶数奇数的说法了，那又怎么证明啊？

lihp2020

证明√3是无理数。
证用反证法。
假设√3是有理数，则必有√3 = m/n (m、n为不为零的整数，m、n互质)。
所以(m/n)^2 = (√3)^2= 2。
即有m^2/n^2 = 3 , m^2 = 3n^2。
可见m^2是一个3的倍数，所以m也必定是3的倍数。
设m= 3k (k是整数)。
则有3n^2 = m^2=(3k)^2 = 9k^2 ,n^2 = 3k^2。
可见n^2是一个3的倍数，所以n也必定是3的倍数。
但因为m、n互质，显然m、n不可能都是3的倍数。
这就发生了矛盾，所以假设不成立。
√3不可能是一个有理数，它必定是无理数。

就把陆老师的解答的 偶数 换成 3的倍数   就好了

liangchuxu

尝试用另一种方法，供参考

曹子昂

应该可以证明普遍性:证明√d(d不是平方数)是无理数。