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设 a1≥a2≥1 ,证明:a1/a2+a2/a1≤a1-a2+2

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发表于 2021-8-14 14:11 | 显示全部楼层 |阅读模式
这个不等式能否一眼看出?
设\(a_1\ge a_2\ge1{,}\)
证明:
\(\frac{a_1}{a_2}+\frac{a_2}{a_1}\le a_1-a_2+2\)
发表于 2021-8-14 18:42 | 显示全部楼层


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 楼主| 发表于 2021-8-14 21:02 | 显示全部楼层

谢谢!您是倒过来写的吗?这个证明看起来像神来之笔
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发表于 2021-8-15 04:13 | 显示全部楼层
这个不等式弱得一塌糊涂。
要证a1/a2+a2/a1<=a1-a2+2
即证a1^2+a2^2<=a1a2(a1-a2)+2a1a2
即证a1^2-2a1a2+a2^2<=a1a2(a1-a2)
即证(a1-a2)^2<=a1a2(a1-a2)
由于a1>=a2,若a1=a2,上式等号成立,若a1>a2,
即证a1-a2<=a1a2
即证a1<=a1a2+a2
由于a2>=1,所以a1a2+a2>a1a2>=a1
所以结论成立,当且仅当a1=a2时等号成立。



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发表于 2021-8-15 07:59 | 显示全部楼层
把这个不等式加强后,如下:
已知:a1>=a2>=1
求证:((a1-a2)/a1)^2 +2 <= a1/a2 +a2/a1 <= ((a1-a2)/a2)^2 +2

请陆教授给评判评判
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