设 a1≥a2≥1 ，证明：a1/a2+a2/a1≤a1-a2+2

KKKKK · 发表于 2021-8-14 14:11

这个不等式能否一眼看出？
设\(a_1\ge a_2\ge1{,}\)
证明：
\(\frac{a_1}{a_2}+\frac{a_2}{a_1}\le a_1-a_2+2\)

luyuanhong · 发表于 2021-8-14 18:42

KKKKK · 发表于 2021-8-14 21:02

luyuanhong 发表于 2021-8-14 18:42

谢谢！您是倒过来写的吗？这个证明看起来像神来之笔

kanyikan · 发表于 2021-8-15 04:13

这个不等式弱得一塌糊涂。
要证a1/a2+a2/a1<=a1-a2+2
即证a1^2+a2^2<=a1a2(a1-a2)+2a1a2
即证a1^2-2a1a2+a2^2<=a1a2(a1-a2)
即证(a1-a2)^2<=a1a2(a1-a2)
由于a1>=a2，若a1=a2，上式等号成立，若a1>a2，
即证a1-a2<=a1a2
即证a1<=a1a2+a2
由于a2>=1，所以a1a2+a2>a1a2>=a1
所以结论成立，当且仅当a1=a2时等号成立。

kanyikan · 发表于 2021-8-15 07:59

把这个不等式加强后，如下：
已知：a1>=a2>=1
求证：((a1-a2)/a1)^2 +2 <= a1/a2 +a2/a1 <= ((a1-a2)/a2)^2 +2

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设 a1≥a2≥1 ，证明：a1/a2+a2/a1≤a1-a2+2

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