证明：(1+1／x)^x 是 x 的递增函数

曹子昂

证明:（1+1/x)^x是递增的

zytsang

只考虑 \(x>0\) 的情况。

定义函数
\[f(x)=\left(1+\frac{1}{x}\right)^x\]
导数为
\[f'(x)=f(x)\left[\ln\left(1+\frac{1}{x}\right)-\frac1{x+1}\right]\]
我们有
\[\ln\left(1+\frac{1}{x}\right)=\int_0^{1/x}\frac{\mathrm{d}t}{1+t}>\int_0^{1/x}\frac{\mathrm{d}t}{1+1/x}=\frac{1}{x+1}\]
因为总有 \(f(x)>0\)，所以导数 \(f'(x)>0\)。所以函数 \(f(x)\) 在 \((0,+\infty)\) 上是严格单调递增函数。

天山草

同济大学数学系编《高等数学》上册，第六版，53 至 54 页上有个根据牛顿二项式展开公式的证明。算是一个非常基础的证明方法。

曹子昂

了解,图像怎么画？

simpley

zytsang 发表于 2021-8-15 11:10
只考虑 \(x>0\) 的情况。

定义函数

导数的计算是建立在(1+1/x)^x=e的基础上，而e的存在性又是建立在(1+1/x)^递增基础上，所以不能用求导证明

曹子昂

simpley 发表于 2021-8-15 21:15
导数的计算是建立在(1+1/x)^x=e的基础上，而e的存在性又是建立在(1+1/x)^递增基础上，所以不能用求导证明

那这个怎么证明啊？

liangchuxu

导数可以用。作些修改。如有循环论证之错误，望给予指教。

simpley

ln x的导数是1/x,这已用到了结果，形成循环证明

曹子昂

对，有点矛盾!

天山草

曹子昂 发表于 2021-8-15 21:27
那这个怎么证明啊？