数学中国

 找回密码
 注册
搜索
热搜: 活动 交友 discuz
查看: 5298|回复: 5

三个高数相关问题:1. 记 a=lim(n→+∞)∑(k=0,n-1)120/√(n^2+kn),求 a 的取整值

[复制链接]
发表于 2021-8-15 21:41 | 显示全部楼层 |阅读模式
如图三个问题,求助



本帖子中包含更多资源

您需要 登录 才可以下载或查看,没有帐号?注册

x
发表于 2021-8-15 22:48 | 显示全部楼层
本帖最后由 zytsang 于 2021-8-15 22:52 编辑

第1题:

\[\lim_{n\to\infty}\left(\sum_{k=0}^{n-1}\frac{1}{\sqrt{n^2+kn}}\right)
=\lim_{n\to\infty}\left(\frac{1}{n}\sum_{k=0}^{n-1}\frac{1}{\sqrt{1+\frac{k}{n}}}\right)
=\int_0^1\frac{\mathrm{d}x}{\sqrt{1+x}}
=2\sqrt{x+1}\Big|^{x=1}_{x=0}
=2(\sqrt{2}-1)
<1\]

所以原题的整数部分为 \([a]=120\)




第2题:

我们有
\[\ln{(1+x)}\sim x\quad\text{as }x\to0^+\]
\[\lim_{x\to0^+}\frac{a^x-1}{x}=\ln{a}\]

计算自然对数的极限
\[\begin{aligned}
\lim_{x\to0^+}\ln{\left[\left(\frac{2^x+3^x}{2}\right)^{4/x}\right]}
&=\lim_{x\to0^+}\frac{4}{x}\ln{\left(\frac{2^x+3^x}{2}\right)} \\
&=\lim_{x\to0^+}\frac{4}{x}\ln{\left(1+\frac{2^x-1}{2}+\frac{3^x-1}{2}\right)} \\
&=\lim_{x\to0^+}\frac{4}{x}\left(\frac{2^x-1}{2}+\frac{3^x-1}{2}\right) \\
&=\lim_{x\to0^+}\frac{4}{2}\left(\frac{2^x-1}{x}+\frac{3^x-1}{x}\right) \\
&=2(\ln{2}+\ln{3}) \\
&=\ln{36}
\end{aligned}\]

所以原题为
\[\lim_{x\to0^+}\left(\frac{2^x+3^x}{2}\right)^{4/x}=e^{\ln{36}}=36\]




第3题:
对于任意非负整数 \(n\geq0\), 我们有
\[\lim_{x\to\infty}e^{-x}x^n=0\]

定义
\[I(n):=\int_0^\infty e^{-x}x^n\,\mathrm{d}x\]

使用分部积分法,我们有
\[\begin{aligned}
I(n)
&=\int_0^\infty e^{-x}x^n\,\mathrm{d}x \\
&=-e^{-x}x^{n}\Big|_{x=0}^{x=\infty}
+n\int_0^\infty e^{-x}x^{n-1}\,\mathrm{d}x \\
&=0+n \cdot I(n-1)
\end{aligned}\]

因为
\[I(0)=\int_0^\infty e^{-x}\,\mathrm{d}x=1\]

所以有 \(I(n)=n!\)

所以原题为
\[I(6)=\int_0^{\infty}x^6e^{-x}\,\mathrm{d}x=6!=720\]

点评

很详细的解答,感谢,能看下我另一个帖子吗,http://www.mathchina.com/bbs/forum.php?mod=viewthread&tid=2047259&page=1&extra=#pid2422174  发表于 2021-8-15 23:01
回复 支持 1 反对 0

使用道具 举报

发表于 2021-8-16 00:37 | 显示全部楼层
楼上 zytsang 的解答很好!已收藏。
回复 支持 反对

使用道具 举报

 楼主| 发表于 2021-8-16 10:41 | 显示全部楼层
zytsang 发表于 2021-8-15 22:48
第1题:

\[\lim_{n\to\infty}\left(\sum_{k=0}^{n-1}\frac{1}{\sqrt{n^2+kn}}\right)

那题是不是有处错误啊应该是240(√2-1)吧,整数部分是99
回复 支持 反对

使用道具 举报

发表于 2021-8-16 11:56 | 显示全部楼层
有好好生活吗 发表于 2021-8-16 10:41
那题是不是有处错误啊应该是240(√2-1)吧,整数部分是99

对,整数部分应该是99
回复 支持 反对

使用道具 举报

您需要登录后才可以回帖 登录 | 注册

本版积分规则

Archiver|手机版|小黑屋|数学中国 ( 京ICP备05040119号 )

GMT+8, 2025-7-11 05:29 , Processed in 0.091999 second(s), 17 queries .

Powered by Discuz! X3.4

Copyright © 2001-2020, Tencent Cloud.

快速回复 返回顶部 返回列表