求方阵 [0,1,0,…,0；… ；0,0,…，0,1；a0,a1,…,an-1] 的特征多项式与最小多项式

wilsony

谁能求出？

zytsang

线性代数里面的一个基本定理。

定义：对于 \(n\geq2\)，首一多项式
\[p_n(\lambda)=\lambda^n+a_{n-1}\lambda^{n-1}+\cdots+a_1\lambda+a_0\]
的伴侣矩阵为
\[\mathbf{C}(p_n)=\begin{bmatrix}
0&1&0& \cdots &0&0 \\
0&0&1& \cdots &0&0 \\
\vdots&\vdots&\vdots&\ddots &\vdots&\vdots \\
0&0&0& \cdots &0&1 \\
-a_{0}&-a_1&-a_2& \vdots& -a_{n-2}&-a_{n-1}
\end{bmatrix}_{n\times n}\]

定理：每一个首一多项式是它的伴侣矩阵的特征多项式和最小多项式。

证明：略。

wilsony

zytsang，你能给出这个定理的证明过程吗？