设 x=sin10°,是否存在有理数 a,b,c，使得 3/(sin40°)^2+1/(cos40°)^2=ax^2+bx+c ？

myyour

设sin10度＝x,是否存在有理数a,b,c,满足3/(sin40)^2 + 1/(cos40)^2＝ax^2+bx+c  ? 请找出一组(a,b,c).

myyour

已解决
sin10=x--->cos80=x，则(sin40)^2 ＝(1-cos80)/2=(1-x)/2，(cos40)^2=(1+cos80)/2=(1+x)/2
那么3/(sin40)^2 + 1/(cos40)^2=6/(1-x) +2/(1+x)=(4x+8)/(1-x^2).
由3倍角公式得sin30=3sin10-4(sin10)^3---->3x-4x^3=1/2.
于是3/(sin40)^2 + 1/(cos40)^2=(4x+8)/(1-x^2)=(8x*1/2+8)/(1-x^2)=(8x*(3x-4x^3)+8)/(1-x^2)=32x^2+8.
即32x^2+8＝ax^2+bx+c。所以a=32,b=0,c=8是其中的一组有理数值。