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设 x=sin10°,是否存在有理数 a,b,c,使得 3/(sin40°)^2+1/(cos40°)^2=ax^2+bx+c ?

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发表于 2021-8-17 11:31 | 显示全部楼层 |阅读模式
设sin10度=x,是否存在有理数a,b,c,满足3/(sin40)^2 + 1/(cos40)^2=ax^2+bx+c  ? 请找出一组(a,b,c).
 楼主| 发表于 2021-8-18 22:57 | 显示全部楼层
已解决
sin10=x--->cos80=x,则(sin40)^2 =(1-cos80)/2=(1-x)/2,(cos40)^2=(1+cos80)/2=(1+x)/2
那么3/(sin40)^2 + 1/(cos40)^2=6/(1-x) +2/(1+x)=(4x+8)/(1-x^2).
由3倍角公式得sin30=3sin10-4(sin10)^3---->3x-4x^3=1/2.
于是3/(sin40)^2 + 1/(cos40)^2=(4x+8)/(1-x^2)=(8x*1/2+8)/(1-x^2)=(8x*(3x-4x^3)+8)/(1-x^2)=32x^2+8.
即32x^2+8=ax^2+bx+c。所以a=32,b=0,c=8是其中的一组有理数值。
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