求\({2∏{{P_j-3}\over{P_j-4}}}\over{ln(N)}\)的极限值

白新岭

求\({2∏{{P_j-3}\over{P_j-4}}}\over{ln(N)}\)的极限值，\(P_j\)→∞,N→∞.
这个问题是在二生素数（P，P+6）的中项差合成数6的数量公式中发现的，相当于4生素数的数量，但是当差为6时，变成了3生素数的数量级，即积分公式中，分母\({ln}^4\)必须变成\({ln}^3\)才形成光滑曲线（与公式表达式的函数曲线相吻合，如果是4次，则变的不规则，不光滑）。
大家看以看如何能求出其极限值。

白新岭

\(P_j\)∈素数，\(P_j\)>3,\(P_j\)→∞,上楼忘了表明条件。希望大家献计献策，早点把其极限求出来。以解决我的燃眉之急。

白新岭

[分享]梅滕斯(Mertens)定理
http://www.mathchina.com/bbs/for ... 9&fromuid=37263
(出处: 数学中国)
上边的连接中有这样的叙述（主贴的作者为：qingjiao）：
∏(1-1/p)=e^(-γ)/lnx+O(1/(lnx)^2)，p≤x。
取其主项，当x-->∞时，x*∏(1-1/p)，p≤√x-->x/1.7810ln√x=1.123x/lnx=1.123π(x)
一个好的公式，至少在x增大时，相对误差应不断缩小，而不是增大或不变。显然x*∏(1-1/p)不符合这一条。类似地，爱好者们用来求哥猜解数的含有(1-2/p)之类的连乘式子，同样缺乏应用的前提，同样会在某个x之后相对误差不断增大。
以上现象暗示，素数的出现并非一个个不相关的独立事件，而是存在某种相关性，只是这种相关性不能用简单的数学形式表示罢了。

白新岭

我们把O的无穷大项去掉，则有∏\((1-{1\over P})\)=\({e^{-y}}\over{ln(x)}\),然后把极限式中的ln（N）用连乘积替换掉，在从新整理即可。

wangyangke

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白新岭

由上楼推出：ln(N)=\(e^{-y}\over{∏(1-{1\over P})}\),把；ln(N)代入一楼，\({2∏{{P_j-3}\over{Pj-4}}}\over{e^{-y}\over{∏(1-{1\over P})}}\),

白新岭

上楼进一步推导：变为2\(e^y\)∏\({P_j-3}\over{P_j-4}\)∏\({P-1}\over P\)=\(2\over 3\)\(e^y\)∏\({P^2-4P+3}\over{P^2-4P}\)=\(2\over 3\)\(e^y\)∏\((1-{3\over{P^2-4P}})\),如何求，∏\((1-{3\over{P^2-4P}})\)值，P≥5，为素数，直到无穷大。

wangyangke

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wangyangke

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大傻8888888

白新岭 发表于 2021-8-20 15:35
上楼进一步推导：变为2\(e^y\)∏\({P_j-3}\over{P_j-4}\)∏\({P-1}\over P\)=\(2\over 3\)\(e^y\)∏\({P^2- ...

2∏（p-3）/∏（p-4）=2∏p（1-3/p）/∏p（1-4/p）=2∏（1-3/p）/∏（1-4/p）
∵∏（1-3/p）=48[e^(-3γ)/（lnp)^3]*c^2*∏[1-1/（p-2)^2]
∏（1-4/p）=192[e^(-4γ)/（lnp)^4]*c^3*∏[1-1/（p-2)^2]^2*∏[1-1/（p-3)^2]
∴2∏（p-3）/∏（p-4）=（lnp)/{4*[e^(-γ)]*c*∏[1-1/（p-2)^2]*∏[1-1/（p-3)^2]}
∴[2∏（p-3）/∏（p-4）]/lnp=1/{4*[e^(-γ)]*c*∏[1-1/（p-2)^2]*∏[1-1/（p-3)^2]}     《一》
∵[e^(-γ)]=0.56145948......，c=0.6601618.......，∏[1-1/（p-2)^2]=0.8198024......，∏[1-1/（p-3)^2]=0.6708911......。代入《一》得以下值
[2∏（p-3）/∏（p-4）]/lnp=1.2263374.......。
∴[2∏（p-3）/∏（p-4）]/lnp在p＞4，p→∞时极限值为1.2263374.......。
以上计算不知是否正确，仅供白新岭先生参考。