3x3矩阵可以左乘一个“二维”向量么？

wufaxian

请看上图以及图中文字叙述，蓝框部分\(d_{3 }\) 是三维向量在某一个轴上的坐标。我们假设向量d在原3维空间下是xoy平面上的一个“二维向量”，也就是说\(d_{3 }\) =0，矩阵A左乘二维向量d，只是把向量d映射到一个新的线性空间上去，这个新的线性空间是由
\(\begin{pmatrix}
a_1\\
b_1\\
c_{1 }
\end{pmatrix}_{ }\)

\(\begin{pmatrix}
a_2\\
b_2\\
c_2{ }
\end{pmatrix}_{ }\)

\(\begin{pmatrix}
a_3\\
b_3\\
c_3{ }
\end{pmatrix}_{ }\)

三个基张成的空间上。但是向量d还是躺在

\(\begin{pmatrix}
a_1\\
b_1\\
c_{1 }
\end{pmatrix}_{ }\)

\(\begin{pmatrix}
a_2\\
b_2\\
c_2{ }
\end{pmatrix}_{ }\)
张成的新平面上。

所以3x3矩阵可以左乘一个“二维”向量么？

luyuanhong

两个矩阵（包括向量）相乘，左边一个矩阵的列数，要等于右边一个矩阵的行数。

如果相等，就可以相乘。如果不相等，就不能相乘。

如果 A 是一个 3×3 矩阵，d=[d1,d2,0]^T 是一个 3 维列向量，即 3×1 矩阵，

这时 A 的列数是 3 ，d 的行数是 3 ，两者相等，所以可以作矩阵乘法。

如果 A 是一个 3×3 矩阵，d=[d1,d2]^T 是一个 2 维列向量，即 2×1 矩阵，

这时 A 的列数是 3 ，d 的行数是 2 ，两者不相等，就不能作矩阵乘法。