求证:(k+2)/3=t

太阳

\(已知:整数a>0，c>0，m>0，t>0，合数k>0，\frac{2^k-2}{2}=a，\frac{3^k-3}{3}=c，\frac{k}{3}\ne m，求证:\frac{k+2}{3}=t\)

太阳

使用数学软件没有找到反例，命题非常强大，找到反例奖100元，证明此题为真命题，奖300元

yangchuanju

太阳 发表于 2021-9-12 16:07
使用数学软件没有找到反例，命题非常强大，找到反例奖100元，证明此题为真命题，奖300元

已知：整数a>0,c>0,m>0,t>0,合数k>0,(2^k-2)/2=a,(3^k-3)/3=c,k/3≠m,求证：(k+2)/3=t。
解：由(2^k-2)/2是一个正整数，可得k是大于1个正整数；
同样由（3^k-3)/3=c是一个正整数，也可得k是大于1个正整数。
由k/3≠m，可知k可等于2,4,5,7,8,10,11，……
由k是合数，可知k等于4,8,10,14,16,20,22,25,26,28,32,34,35,38,40，……
其中的4,10,16,22,25,28,34,40，……加2是3的倍数，有(k+2)/3=t；
但当k等于8,14,20,26,32,35,38，……时加2不是3的倍数，没有(k+2)/3=t的整除关系；
(k+2)/3=t不是始终成立的，谁也证不出来(k+2)/3=t，
别说给100元，300元奖金，给10000元奖金也证不出来！

太阳

yangchuanju 发表于 2021-9-12 21:12
已知：整数a>0,c>0,m>0,t>0,合数k>0,(2^k-2)/2=a,(3^k-3)/3=c,k/3≠m,求证：(k+2)/3=t。
解：由(2^k-2)/ ...

是否能给出一个反例？

太阳

此命题找到反例奖100元

yangchuanju

太阳 发表于 2021-9-13 00:04
是否能给出一个反例？

已经求得，一半k命题成立，一半k命题不成立，还要什么反例？
不成立的一半k值，不都是反例吗？

yangchuanju

反例：k=8
(2^8-2)/2=(256-2)/2=127是整数；(3^8-3)/3=(6561-3)/3=6558/3=2186是整数；8不是3的倍数；8是合数；（8+2）/3除不尽，8+2不是3的倍数。
先生快快那奖金来！

太阳

\(已知:整数a>0，c>0，m>0，t>0，合数k>0，\frac{2^k-2}{k}=a，\frac{3^k-3}{k}=c，\frac{k}{3}\ne m，求证:\frac{k+2}{3}=t\)

太阳

主帖写失误了，命题修改，找到反例奖100元

yangchuanju

太阳 发表于 2021-9-13 06:58
主帖写失误了，命题修改，找到反例奖100元

已知：整数a>0,c>0,m>0,t>0,合数k>0,(2^k-2)/k=a,(3^k-3)/k=c,k/3≠m,求证：(k+2)/3=t。
解：由第2个条件(2^k-2)/k是一个正整数，可得k等于2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31，……；
同样由第3个条件（3^k-3)/k=c是一个正整数，可得k等于2,3,5,6,7,11,13,17,19,23,29,31，……；
同时满足两式的k等于2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31，……。
再满足第4个条件：不能被3整除的k等于2,5,7,11,13,17,19,23,29,31，……
加上还要再满足第1个条件：k是合数，这样的k在k小于等于61时未发现，起码当k≤61时(k+2)/3=t不存在（无解）。

太阳先生出的这是什么题目，整除式(k+2)/3=t无解，或者说没有同时满足4个条件的k呀！