矩阵的秩与可逆性有什么关系？

wufaxian

(重要) 假设 A 与 B 是 nxn 矩阵且 AB = I。由秩(AB) \(\le\) 秩(A)，证明 A 的秩是 n， 所以 A 是可逆且 B 必须是它的双边逆矩阵(段落 2.5)，因此 BA = I。(这个不是 显而易见的)

问题来自于划线部分。难道不讨论AB的秩和A的秩，就不能得出划线部分的结论？从AB=I，就可以推出划线部分的结论了吧？怎么还说不是显而易见的呢？