在 ΔABC 中，AB=AC=1，∠A=90°，D,E 分别是 AB,BC 上两点，DE⊥CD，求 BE 的最大值

uk702

初中的一道题，想了一天愣是没辙。

如图，等腰直角三角形ABC中，AB=1，∠A=90°，D是边AB上的一点，DE垂直CD交BC于E，求BE的最大值。

lihp2020

取CE中点为点O  连接DO
原图 原题 可以理解成  BC上取一点O  以OC为半径 O为圆心 画圆 交AB于D BC于E

求 BE最大 那么OC 要最小   也就是 oc 为半径的圆 最小  且圆要与AB有交点
oc最小  就是 画圆 刚好与AB相切

记 oc =x    利用OD垂直AB 建立方程 解的x  =(sqrt(10)-sqrt(2))/2

oc出来了 BE 就出来了

FGNBGHJUOI

我记得百度数学吧有人问过，我记得是在CD为\(\angle ACB\)的角平分线的时候，CE的中点F连接D，FD恰好垂直AB且FD=FC=\(\frac{1}{2}CE\)的时候，CE取最小值,BE的最大值是\(3\sqrt{2}-4\)

Nicolas2050

利用余弦定理，勾股定理可求。不过要求导数。

uk702

lihp2020 发表于 2021-9-18 14:02
取CE中点为点O  连接DO
原图 原题 可以理解成  BC上取一点O  以OC为半径 O为圆心 画圆 交AB于D BC于E

非常感谢！经验证这个结果正确的。

uk702

我找到一个代数的解法如下。

FGNBGHJUOI

我觉得每一道几何最值题目都有纯几何解法，
只是难易程度有着很大的差别，
希望论坛有越来越多越好的几何最值题

liangchuxu

提供一种结合向量的代数解法。

luyuanhong

uk702

看了老师给出的标准解答，虽然挑不出什么错来，但我彻底凌乱了。（大体可以理解成一种构造方法，检查对什么样的 CE=x，AB 上存在点 D，使得 ∠EDC=90°，和 #5 相比较，这里的过程在逻辑上就完全严谨了，#5 最值为什么在相切时取得，个人认为是需要补充阐述的。举个例子，求圆上的一点，使得距某定点的距离最小，这时切点显然不是所求的点 ）