数学中国

标题: 在 ΔABC 中，AB=AC，E 是 AC 中垂线上一点，使 ∠EBC=30°，求证：ΔACE 是正三角形 [打印本页]

作者: uk702 时间: 2021-9-22 08:26
标题: 在 ΔABC 中，AB=AC，E 是 AC 中垂线上一点，使 ∠EBC=30°，求证：ΔACE 是正三角形
如图，等腰ΔABC中，AB=AC，E是AC中垂线上的一点，且满足∠EBC=30°，求证：ΔACE是正Δ。

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求各种解法，尤其是纯几何的解法，和最高明的解法（如向量、复数等）。

作者: kanyikan 时间: 2021-9-22 15:06
用同一法证最简单

作者: kanyikan 时间: 2021-9-22 15:37
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作者: uk702 时间: 2021-9-22 16:14
本帖最后由 uk702 于 2021-9-22 16:17 编辑

kanyikan 发表于 2021-9-22 15:37

真高！佩服得五体投地，两个方法都是我想不到的。根据您给出的方法，同一法我下面再稍微详细地解析一下。

作者: uk702 时间: 2021-9-22 16:58
下面一个中规中矩、平淡如水的证法。

作者: luyuanhong 时间: 2021-9-22 19:39
楼上 kanyikan 和 uk702 的解答已收藏。

作者: denglongshan 时间: 2021-9-22 23:12
本帖最后由 denglongshan 于 2021-9-22 23:24 编辑

\(假设b=0，c=1,\frac{\overrightarrow{AC}}{\overrightarrow{AB}}=v，因为AB=AC，|v|=1,a=\frac{1}{1-v}{,}\overline{a}=\frac{v}{v-1}{,}\)
\(假设\frac{\overrightarrow{CE}}{\overrightarrow{AE}}=u，又因为E在AC中垂线线上，|u|=1,e=\frac{c-ua}{1-u}=\frac{1-u-v}{\left( v-1\right)\left( v-u\right)}{,}\overline{e}=\frac{uv-u-v}{\left( v-1\right)\left( v-u\right)}{,}\)\(由角EBC等于30度得，\frac{e}{e}=1+\omega{,}\frac{1-u-v}{uv-u-v}=1+\omega，可解得u=1+\omega\)
上面都是手工计算证明。
如果用上面的同一法证明计算可能更容易。

作者: 波斯猫猫 时间: 2021-9-23 10:43
题：在 ΔABC 中，AB=AC，E 是 AC 中垂线上一点，使 ∠EBC=30°，求证：ΔACE 是正三角形。

旋转法：为使 ∠EBC=30°，且E 是 AC 中垂线上一点，把AC绕A按逆时针方向旋转60°得到AE，

连CE，则ΔACE是正三角形。

作者: FGNBGHJUOI 时间: 2021-9-23 14:52
本帖最后由 FGNBGHJUOI 于 2021-9-23 15:47 编辑

以下图片的题目问法跟你的一样
这道题应该只有同一法和反证法是最简单的。没有比这简单的办法了
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作者: lihp2020 时间: 2021-9-23 16:29
是不是同一法来证明如果考试都不会认

作者: FGNBGHJUOI 时间: 2021-9-23 20:00

lihp2020 发表于 2021-9-23 16:29
是不是同一法来证明如果考试都不会认

嗯。。我也不太清楚会不会认

作者: doletotodole1 时间: 2021-9-24 19:17

uk702 发表于 2021-9-22 16:58
下面一个中规中矩、平淡如水的证法。

好思路, 不过同一法感觉充分未必必要.

作者: kanyikan 时间: 2021-9-24 19:29
下面是一个反证法，欢迎批评。
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作者: FGNBGHJUOI 时间: 2021-9-25 14:14

kanyikan 发表于 2021-9-24 19:29
下面是一个反证法，欢迎批评。

过程挺好的，没啥问题。

作者: denglongshan 时间: 2021-9-27 21:50
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作者: cgl_74 时间: 2021-9-27 23:19
这个题用同一法来证明，简洁，干脆，让其它方法相形见绌。
同一法是很正经的证明方法，为什么考试会不认呢？难道是证明过程太简单了，辜负了出题老师辛苦出题的好意吗？

作者: 风花飘飘 时间: 2021-9-28 20:09
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作者: 王守恩 时间: 2021-10-9 08:33
本帖最后由王守恩于 2021-10-9 19:27 编辑

我溺爱这不用脑子的算法(图见1楼)。记AC与BE的交点为O \(∠AEF=\theta\ \ ∠ABC=a\)
\(\frac{\sin∠OAB\sin∠OEA\sin∠OCE\sin∠OBC}{\sin∠OAE\sin∠OEC\sin∠OCB\sin∠OBA}=\frac{\sin(2a)\sin(\theta+a-60^\circ)\cos(\theta)\sin(30^\circ)}{\cos(\theta)\sin(\theta-a+60^\circ)\sin(a)\sin(a-30^\circ)}=1\)
\(解得\ \theta=30^\circ\ \ \ 90^\circ>a>0^\circ\)

这样也行。
\(\frac{1}{\sin30^\circ}=\frac{2\sin(2a)\sin(\theta)}{\sin(a)\sin(\theta-a+60^\circ)}\)

这样也行。
\(\frac{1}{\sin\theta}=\frac{2\sin(a-30^\circ)}{\sin(\theta+a-60^\circ)}\)

作者: ccmmjj 时间: 2021-11-4 10:02
uk702的帖子有点意思。以后可以多学习学习。

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