已知 P 是平面上投影到直线 x-y=0 的投影矩阵，证明：Ｉ-P 是投影到 x+y=0 的投影矩阵

wufaxian

若 P 是在通过(1, 1)的直线的 2x2 投影矩阵，则 I - P 是在_______的投影 矩阵。

原文：If P is the 2 by 2 projection matrix onto the line through (1, 1), then I - P is the projection matrix onto __ .

答案I-P is the projection matrix onto (1,-1) in the perpendicular direction to (1, 1)


疑惑：假设被投影的向量是b,

根据题干有 a=\(\begin{bmatrix}
1\\
1
\end{bmatrix}\)

投影矩阵P=\(\frac{aa^T}{a^Ta}\)=\(\frac{1}{2}\)\(\begin{bmatrix}
1&1\\
1&1
\end{bmatrix}\)

由Pb=\(\begin{bmatrix}
1\\
1
\end{bmatrix}\)

可以算出b=\(\begin{bmatrix}
1\\
1
\end{bmatrix}\)

根据上方求出的P，可以计算出I-P=\(\begin{bmatrix}
0.5&-0.5\\
-0.5&0.5
\end{bmatrix}\)

(I-P)b=\(\begin{bmatrix}
0\\
0
\end{bmatrix}\)

从上面结果没有投影到(1,-1)方向，而是投影到了(0,0)。所以是我哪里计算错了么？

luyuanhong

wufaxian

luyuanhong 发表于 2021-10-8 02:09

谢谢lu老师的详细解答。我在网上看到另外一种解题思路。能得到正确的结果。但是我对其中的逻辑表示怀疑，想请lu老师点评一下。

由于正交补集的知识可知，空间中任何向量x 都可以拆分成行空间分量和零空间分量，即x=\(x_{r}\)+\(x_{n}\) 由于两个空间正交。所以\(x_{r}\)和\(x_{n}\)必然正交。由此，我们建立如下方程：

x=Px+Qx （P Q是两个正交的投影矩阵） 推导出
Ix=Px+Qx

其中Px在(1,1)的直线上   由正交关系可知 Qx必然是(1,-1)的直线上

由Ix=Px+Qx-->Ix=(P+Q)x--->I=P+Q----->  I-P=Q

所以I-P投影的向量必然在(1,-1)的直线上

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以上解题思路显然可以得到正确答案。但是我对其中的一个关键步骤有些怀疑。
由于正交补集的知识可知，空间中任何向量x 都可以拆分成行空间分量和零空间分量，------这当然成立。但是不代表空间中任何向量x被分解(在这里把x向不同方向投影看作分解)，就一定是分解到两个正交的直线上吧？假设我们将x投影到两个不正交的直线上，可以么？如果可以，那么是不是一样可以得出：
x=Px+Qx （P Q是两个非正交的投影矩阵） ，但是同样可以得出Ix=Px+Qx 吧？
后面一样可以推出-->Ix=(P+Q)x--->I=P+Q----->  I-P=Q 吧？
那么所以I-P投影的向量不必然在(1,-1)的直线上吧？
或者说I-P矩阵投影的方向不一定是与(1,1)正交的方向，可以有无数解（都不在(1,-1)及其延长线上），以上是从几何的角度思考的。

但是显然在你给出的推导中(I-P)x只能落在(1,-1)。也非常合理。

所以，应该如何看待以上的矛盾？

luyuanhong

luyuanhong

wufaxian

luyuanhong 发表于 2021-10-8 13:01

lu老师，前面你证明的AB是两个正交的矩阵使存在I=P+Q，且x被PQ分别投影后生成的向量也是正交的。

我的一个困惑时。是否存在两个非正交的投影矩阵P Q，对x进行投影后生成两个非正交的向量\(x_{p}\)和x_{Q}，同时P Q还满足I=P+Q。有这种可能么？