0.999……=1的逻辑死循环

门外汉

这一年来0.999……是否等于1的问题大热，争论得热火朝天的，我记得从前只要有人说0.999……≠1，就立刻被人当做民科四面围攻，吓得很多人不敢说这个话题，没想到一年前风向变了，这个问题突然就火了。
其实，0.999……是否等于1的问题已经争论了两千多年，从古至今都在争论，真没啥大惊小怪的。
咱们先抛开那些让人晕头蒙脑的复杂数学概念，凭直观分析一下为什么有些人坚定的认为0.999……=1？
我们从数轴上可以直观地观察到：0.9与1之间隔着一段距离，0.99与1之间的距离明显缩短了，0.999与1之间的距离又明显缩短了……
于是，人们会自然而然的想到，每增加一个9，就是向1靠近一步，离1会越来越近，那么，永不停歇地加9，就会离1越来越近，越来越近，最终与1重合。
这就像是一个人在数轴上走，0.9，0.99，0.999，……只要他不停的走下去，一定会走到1。所以0.999……=1。
有道理吗？相当有道理。
而反对的人会说，这样走下去，会走无限多步，而无限就意味着永远无法完成，无法完成就意味着永远走不到1，所以0.999……≠1。
有道理吗？相当有道理。
两个观点肯定是一个对一个错，到底是谁错了？
下面我用“十分法”来给大家分析一下，0.999……=1到底有什么逻辑问题：
设一条一米长的线段，并且设一只蚂蚁用每分钟1米的速度从0走到1米处：
首先将这条线段做10等分，蚂蚁先走到十分之九，记为0.9。
可知，剩余的线段0.9与1之间有无穷多个点，于是将剩余的线段十等分，蚂蚁走到十分之九，记为0.99。
可知，剩余的线段0.99与1之间有无穷多个点，于是将剩余的线段十等分，蚂蚁走到十分之九，记为0.999
……
我们会发现，只要是剩余的线段剩无穷多个点，就能将它十等分，按照程序，蚂蚁要先走到十分之九。
于是我们会发现一个十分严重的问题：这个十等分的过程是无穷无尽，永无终止的，那么，蚂蚁永远都走不到终点1米吗？
不会的，因为前面说到，蚂蚁的速度是每分钟1米，所以蚂蚁只用1分钟就能爬到终点1米处。
但是，只要是剩余的线段剩无穷多个点就能做十等分，只要能做十等分蚂蚁就爬不到终点。
蚂蚁怎样才能爬到终点呢？只有一种可能：那就是当蚂蚁爬到某一步时，剩余的线段只剩10个点，下一步，将10个点十等分，蚂蚁爬到十分之九，再下一步，蚂蚁与1的位置没有其他点，不能再做10等分了，于是蚂蚁最终走到1这个终点。
但是，线段上只剩10个点这种情况是不存在的，因为它违反了实数的稠密性。
既然不存在这种情况，那就意味着十等分的过程永无停止，也就意味着蚂蚁永远走不到终点。
前面提到，人们之所以认为0.999……=1是因为0.9，0.99，0.999，……一定会走到1，现在得出结论，0.9，0.99，0.999，……这一过程是无限的，永无终止，永远走不到1，所以，0.999……≠1。
所以，0.999……=1是数学上的一个逻辑死循环，一头钻进死胡同里永远都出不来。

任在深

千言万语一句话！
“万物皆数”！
而0.9999......既不是点，线，面更不是体！它不是个物！！
小数不属于单位数的范畴！因此不是单位数！！
它既然不是个物，那它绝不等于任何数！！！

elim

在非标准分析中 0.9i999... < 1, 在标准分析中 0.999.... = 1.  结果不同出于数系公理不同。
没有什么逻辑死循环问题，这么说的人有逻辑混乱的问题。

门外汉

elim 发表于 2021-10-12 19:41
在非标准分析中 0.9i999... < 1, 在标准分析中 0.999.... = 1.  结果不同出于数系公理不同。
没有什么逻辑 ...

我是不指望你能直接从正文中找出错误来的，因为你找不出来

elim

门外汉 发表于 2021-10-13 05:32
我是不指望你能直接从正文中找出错误来的，因为你找不出来

一步一步走下去，每步都不是 0.999... ， 所以都推不出 0.999..... ≠ 1.
事实上 \(1\ge 0.999\ldots\ge 0.\underset{n个9}{\underbrace{99\ldots 9}}= 1-10^{-n}\) 对任意正整数\(n\)成立。
对\(n\)取极限就得 \(1=0.999\ldots\)

所以主贴在标准分析下的错误一目了然的。

门外汉

elim 发表于 2021-10-13 23:06
一步一步走下去，每步都不是 0.999... ， 所以都推不出 0.999..... ≠ 1.
事实上 \(1\ge 0.999\ldots\g ...

你说的话我不反驳，那你说说，按照正文的十分法走法，蚂蚁能走到1米吗？

elim

蚂蚁用一分钟走到1米的终点毫无疑问。若必须踏到每个分点，则其步频率
\(p_n \sim\frac{1}{10^{1-n}-10^{-n}}=\frac{10^n}{9}\to\infty.\) 这实际上是做不到的。所以蚂蚁最后一步
会跨过无穷多个分点。如果不允许跨过任何分点，那么就得假定蚂蚁能够
无限提升步伐频率且无限缩短步距以保持运动速度. 这样蚂蚁在一分钟后还
是能到达终点.
如果蚂蚁必须踏到各个分点，听到人宣布它结束了第n步后再走下一步，
那么由于这种宣布耗时不小于某常数\(\Delta t >0\), 而分点无穷多，那么它走到
\(n+1\)个分点耗时大于\(n\Delta t.\) 因此它不可能在有限时间内到达终点.
最后那种情况就是芝诺的诡辩的要诀。

jzkyllcjl

支持门外汉的论述，对任意大 n位十进小数，它等于1-1/10^n,，因此它永远不等于1.
虽然 n→∞时 {1-1/10^n,}趋向于1， 但  n 只能趋向于∞，但永远达不到∞。

elim

jzkyllcjl 发表于 2021-10-13 23:31
支持门外汉的论述，对任意大 n位十进小数，它等于1-1/10^n,，因此它永远不等于1.
虽然 n→∞时 {1-1/10^ ...

jzkyllcjl 的猿声推翻不了 5楼的论证，只能自取其辱。

门外汉

elim 发表于 2021-10-14 01:47
蚂蚁用一分钟走到1米的终点毫无疑问。若必须踏到每个分点，则其步频率
\(p_n \sim\frac{1}{10^{1-n}-10^{- ...

我觉得吧，你说的这些话都对，但唯独成功绕过了“十个点”的逻辑问题闭口不谈