互素数和与哥德巴赫猜想

yangchuanju

互素数和与哥德巴赫猜想

两个与6互素的正整数5,7,11,13,17……之和可以遍历≥10的全部偶数。
仅用5和7同与6互素的5,7,11,13,17……一列正整数相加，即可得到大于等于10的全部偶数：
5+5=10,5+11=16,5+17=22，……，5+(6k-1)=6k+4；
5+7=12,5+13=18,5+19=24，……，5+(6k+1)=6k+6；
7+5=12,7+11=18,7+17=24，……，7+(6k-1)=6k+6；
7+7=14,7+13=20,7+19=26，……，7+(6k+1)=6k+8。
偶数10,14,16,20,22，……，6k+4、6k+8的和式个数都是1；12,18,24，……，6k+6的和式个数都是2；k≥1。

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两个与30互素的正整数7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47,49,53,59,61……之和可以遍历14及≥18的全部偶数。
仅用7,11,13,17,19,23,29和31（8个互素数）同与30互素的7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47,49,53,59,61……一列正整数相加，即可得到14及≥18的全部偶数：
互素数        7        11        13        17        19        23        29        31
7        14        18        20        24        26        30        36        38
11        18        22        24        28        30        34        40        42
13        20        24        26        30        32        36        42        44
17        24        28        30        34        36        40        46        48
19        26        30        32        36        38        42        48        50
23        30        34        36        40        42        46        52        54
29        36        40        42        46        48        52        58        60
31        38        42        44        48        50        54        60        62
37        44        48        50        54        56        60        66        68
41        48        52        54        58        60        64        70        72
43        50        54        56        60        62        66        72        74
47        54        58        60        64        66        70        76        78
49        56        60        62        66        68        72        78        80
53        60        64        66        70        72        76        82        84
59        66        70        72        76        78        82        88        90
61        68        72        74        78        80        84        90        92

将8*8=64个和数分别加上30k即为通式，式中k≥0。

表中14,18-62的个数分别为：
偶        个        偶        个        偶        个        偶        个
14        1        28        2        40        4        52        3
18        2        30        6        42        6        54        6
20        2        32        2        44        3        56        3
22        1        34        3        46        3        58        3
24        4        36        6        48        6        60        8
26        3        38        3        50        4        62        3

用7,11,13,17,19,23,29和31（8个互素数）同与30互素的7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47,49,53,59,61（8*2=16个互素数）正整数相加，可得到14及18-62的全部偶数：
在此基础上再加上60,90,120……，可得到14及18-92,18-122,18-152……的全部偶数；
继续加下去，即可得到14及大于等于18的全部偶数。
故两个与30互素的正整数7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47,49,53,59,61……之和可以遍历≥18的全部偶数。

上述加法中没有素数3和5，将3和5补进去，6=3+3,8=3+5,10=5+5,12=5+7,16=3+13=5+11，即得到≥6的全部偶数。

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两个与210互素的正整数11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47,53,59,61……211,……之和可以遍历≥22的全部偶数。
仅用11,13,17,19,23,29,……211（48个互素数）同与210互素的11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47,53,59,61,……421（48*2个互素数）正整数相加，即可得到22-422的全部偶数：

偶数        个数        偶数        个数        偶数        个数        偶数        个数
2        0        108        12        214        15        320        20
4        0        110        8        216        30        322        18
6        0        112        10        218        15        324        30
8        0        114        16        220        20        326        15
10        0        116        8        222        30        328        15
12        0        118        9        224        18        330        40
14        0        120        22        226        15        332        15
16        0        122        7        228        30        334        15
18        0        124        10        230        20        336        36
20        0        126        20        232        15        338        15
22        1        128        6        234        30        340        20
24        2        130        12        236        15        342        30
26        1        132        18        238        18        344        15
28        2        134        9        240        40        346        15
30        4        136        8        242        15        348        30
32        2        138        16        244        15        350        24
34        3        140        14        246        30        352        15
36        4        142        11        248        15        354        30
38        1        144        20        250        20        356        15
40        4        146        9        252        36        358        15
42        6        148        10        254        15        360        40
44        2        150        26        256        15        362        15
46        3        152        8        258        30        364        18
48        6        154        14        260        20        366        30
50        4        156        20        262        15        368        15
52        4        158        9        264        30        370        20
54        8        160        16        266        18        372        30
56        4        162        22        268        15        374        15
58        5        164        10        270        40        376        15
60        10        166        11        272        15        378        36
62        3        168        26        274        15        380        20
64        6        170        14        276        30        382        15
66        8        172        12        278        15        384        30
68        2        174        24        280        24        386        15
70        8        176        12        282        30        388        15
72        10        178        11        284        15        390        40
74        5        180        32        286        15        392        18
76        6        182        14        288        30        394        15
78        10        184        14        290        20        396        30
80        6        186        26        292        15        398        15
82        7        188        12        294        36        400        20
84        14        190        18        296        15        402        30
86        5        192        26        298        15        404        15
88        6        194        13        300        40        406        18
90        16        196        16        302        15        408        30
92        6        198        26        304        15        410        20
94        7        200        18        306        30        412        15
96        12        202        15        308        18        414        30
98        6        204        30        310        20        416        15
100        10        206        15        312        30        418        15
102        14        208        14        314        15        420        48
104        6        210        46        316        15        422        15
106        7        212        14        318        30               

在此基础上再加上420,630,840……，可得到22-632,22-842,22-1052……的全部偶数；
继续加下去，即可得到大于等于22的全部偶数。
故用两个与210互素的正整数11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47,53,59,61……,211……之和可以遍历≥22的全部偶数。

上述加法中没有素数3,5和7，将3,5和7补进去，6=3+3,8=3+5,10=5+5,12=5+7,14=3+11=7+7,16=3+13=5+11,18=5+13=7+11,20=3+17=7+13，即得到≥6的全部偶数。

yangchuanju

继续下去，
用与2310互素的480个互素数同与2310互素的2组、3组、……无穷组互素数相加，可得≥26的全部偶数；
用与30030互素的5760个互素数同与30030互素的2组、3组、……无穷组互素数相加，可得≥34的全部偶数；
用与510510互素的92160个互素数同与510510互素的2组、3组、……无穷组互素数相加，可得≥38的全部偶数；
…………
用与p#互素的1组互素数同与p#互素的2组、3组、……无穷组互素数相加，可得≥2p的全部偶数；其中素数p可以无穷大。

互素数中只有部分是素数，虽然2个互素数之和可遍历（覆盖）全部≥6的偶数，但还不能由此导出哥德巴赫猜想。
尽管在此不能导出哥德巴赫猜想，但它也是证明哥猜的一种思路，值的继续向下研究！

cuikun-186

双筛法证明：每个大于等于6的偶数都是2个奇素数之和
崔坤
中国青岛，266200，E-mail:cwkzq@126.com
摘要：根据古老的埃氏筛法推出双筛法，对所得真值公式：r2(N)=(N/2)∏mr进行下限值估计，
从而证明了r2(N)≧[0.92129^2*N/（lnN）^2]≥1个奇素数,即证明了每个大于等于6的偶数都是2个奇素数之和
关键词：埃氏筛法，双筛法，素数定理，共轭数列,真实剩余比
Cuikun
Qingdao,China,266200, E-mail:cwkzq@126.com
The double screen method is used to prove that:
Every even number greater than or equal to 6 is the sum of two odd primes
Abstract: the double sieve method is derived from the ancient Ehrlich sieve method, and the lower limit of the truth formula: r2 (N) = (N / 2) Πmr is estimated. It is proved that r2 (N) ≥ [0.92129^2*N/（lnN）^2]≥1,
That is, it is proved that every even number greater than or equal to 6 is the sum of two odd primes
Key words: Ehrlich sieve method, double sieve method, prime theorem, conjugate sequence,True residual ratio
证明：
对于共轭互逆数列A、B:
A:｛1,3,5,7,9,……,（N-1）｝
B:｛（N-1）,……,9,7,5,3,1｝
双筛法的步骤：
首先给出：偶数N=2n+4，建立如下互逆数列：
首项为1，末项为N-1,公差为2的等差数列A
再给出首项为N-1,末项为1，公差为-2的等差数列B
显然N=A+B
根据埃氏筛法获得奇素数集合P：
｛1，3，5，…，Pr｝,Pr<N^1/2
为了获得偶数N的(1+1)表法数，按照双筛法进行分步操作：
第1步：将互逆数列用3双筛后得到真实剩余比m1
第2步：将余下的互逆数列用5双筛后得到真实剩余比m2
第3步：将余下的互逆数列用7双筛后得到真实剩余比m3
…
依次类推到：
第r步：将余下的互逆数列用Pr双筛后得到真实剩余比mr
这样就完成了对偶数N的求双筛法（1+1）表法数，根据乘法原理有：
r2(N)=（N/2）*m1*m2*m3*…*mr
即r2(N)=(N/2)∏mr
例如：
[√70]=8，｛Pr｝={1,3,5,7},
3|/70，m1=13/35
5|70, m2=10/13
7|70, m3=10/10
根据真值公式得：
r2(70)
=(70/2)*m1*m2*m3
=35*13/35/10/13*10/10
=10
r2(70)=10
分析双筛法的逻辑和r2(N)下限值：
在王元的文献《谈谈素数》中：a=0.92129，A=1.105548；切比雪夫不等式是：a(x/lnx) ≤π (x)≤ A(x/lnx)
对于偶数N≥6，则有：1.105548(N/lnN)≥π (N)≥0.92129(N/lnN)，
双筛法本质上第一步:先对A数列筛选:A中至少有[0.92129(N/lnN)]个奇素数，
即此时的共轭互逆数列AB中至少有[0.92129(N/lnN)]个奇素数
第二步:再对B数列进行筛选，筛子是相同的0.92129/lnN
由此推得共轭数列AB中至少有:r2（N）≥[0.92129^2*N/（lnN）^2]个奇素数。
例如：70
第一步:先对A数列筛选，A中至少有[0.92129(N/lnN)]=[0.92129*70/ln70]=15个奇素数,π(70)=19,
即此时的共轭互逆数列AB中至少有[0.92129(N/lnN)]=[0.92129*70/ln70]=15个奇素数。

第二步:再对B数列进行筛选，筛子是相同的0.92129/ln70,由此推得共轭数列AB中至少有:
r2（70）≥[0.92129^2*70/（ln70）^2]=3个奇素数,r2(70)=10

不难看出所给的数列一共有3个，
第一个是A数列，其中至少有[0.92129(N/lnN)]个奇素数；
第二个是与A共轭的B数列，其中至少有[0.92129(N/lnN)]个奇素数；
第三个是AB数列,其中至少有2[0.92129(N/lnN)]个奇素数。
结论:r2（N）≥[0.92129^2*N/（lnN）^2]≥1个奇素数。
参考文献：
[1]华罗庚，《数论导引》，科学出版社，1957-07
[2]王元，《谈谈素数》，哈尔滨工业大学出版社，2011-3
[3]李文林，《数学瑰宝——历史文献精选》，科学出版社，1998 年，第 368 页

yangchuanju

前已证明8个互素数7,11,13,17,19,23,29,31（都是素数）和与30互素的7,11,13,17,19,23,29,31,37,41……中的两个互素数之和能够遍历（覆盖）14及所有≥18的偶数。
尚若去掉其中模30余1，或余7，或余11，……或余29的，还能够遍历（覆盖）除少数小偶数以外的所有偶数吗？
答案是肯定的，能！8类缺1类，仍可遍历全体偶数！
去掉模30余1的，不能遍历偶数的个数还是7个：2,4,6,8,10,12,16；
去掉模30余7的，不能遍历偶数的个数增加到10个；14,18,20不能被合成；
去掉模30余11的，不能遍历偶数的个数增加到10个；18,22,28不能被合成；
去掉模30余13的，不能遍历偶数的个数增加到9个；20,32不能被合成；
去掉模30余17的，不能遍历偶数的个数增加到8个；28不能被合成；
去掉模30余19的，不能遍历偶数的个数增加到8个；32不能被合成；
去掉模30余23的，不能遍历偶数的个数还是7个：2,4,6,8,10,12,16；
去掉模30余29的，不能遍历偶数的个数还是7个：2,4,6,8,10,12,16。

8缺1没问题，8缺2如何？稍后讨论。
但8缺3，8缺4，8缺5，8缺6，8缺7，肯定是不行的。

yangchuanju

8缺2，即仅用模30的6类互素数来合成偶数，
前曾在《两素数和能否覆盖全体偶数问题探讨》中给出：
任六类无穷型二素数和（共28种组合），内有12种最多覆盖13类偶数：
缺模30余1和7的素数和，不能覆盖模30余14和20的偶数；
缺模30余1和13的素数和，不能覆盖模30余2和20的偶数；
缺模30余1和19的素数和，不能覆盖模30余2和8的偶数；
缺模30余7和13的素数和，不能覆盖模30余14和26的偶数；
缺模30余7和19的素数和，不能覆盖模30余8和20的偶数；
缺模30余11和17的素数和，不能覆盖模30余4和10的偶数；
缺模30余11和23的素数和，不能覆盖模30余10和22的偶数；
缺模30余11和29的素数和，不能覆盖模30余22和28的偶数；
缺模30余13和19的素数和，不能覆盖模30余20和26的偶数；
缺模30余17和23的素数和，不能覆盖模30余4和16的偶数；
缺模30余17和29的素数和，不能覆盖模30余10和28的偶数；
缺模30余23和29的素数和，不能覆盖模30余10和16的偶数。
12种不被覆盖的偶数，两两成对，偶数和等于30；缺少的素数和也等于30。
其余16种任六类无穷型二素数和应该能覆盖除少数小偶数以外的全部15类偶数。

上述12种互素数和是不能遍历全部15类偶数的。
其余16种是：1+11,1+17,1+23,1+29,7+11,7+17,7+23,7+29,11+13,11+19,13+17,13+23,13+29,17+19,19+23,19+29。

yangchuanju

例1：去掉模30余1和7的两类互素数，不能覆盖模30余14和20的偶数；
余        个        余        个        余        个
0        7        10        6        20        0
2        6        12        6        22        7
4        6        14        0        24        7
6        6        16        6        26        7
8        6        18        6        28        7
表中个数等于7的可遍历，等于6的缺一个，等于0的不能遍历。

例2：去掉模30余1和11的两类互素数，可以覆盖全部15类偶数，但缺2,4,6,8,10,12,16,18,22,28十个偶数；
同去掉模30余11的1类互素数的工况，不能遍历偶数的个数增加到10个，18,22,28不能被合成；因去掉模30余11的1类互素数不能遍历偶数的个数不变：
余        个        余        个        余        个
0        7        10        6        20        7
2        6        12        6        22        6
4        6        14        7        24        7
6        6        16        6        26        7
8        6        18        6        28        6
表中个数等于7的可遍历，等于6的缺一个，没有等于0的可全部遍历。

例3：去掉模30余7和11的两类互素数，可以覆盖全部15类偶数，但缺2,4,6,8,10,12,14,16,18,20,22,24,28十三个偶数；
去掉模30余7的1类互素数的工况，不能遍历偶数的个数增加到10个，14,18,20不能被合成；
再去掉模30余11的1类互素数的工况，不能遍历偶数的个数增加到10个，18,22,28不能被合成；
内有一个偶数18是重复的，然而24不能再合成：24不再等于7+17或11+13，不能遍历的偶数变成7+3+3-1+1=13个：
余        个        余        个        余        个
0        7        10        6        20        6
2        6        12        6        22        6
4        6        14        6        24        6
6        6        16        6        26        7
8        6        18        6        28        6
表中个数等于7的可遍历，等于6的缺一个，没有等于0的可全部遍历。

例4：去掉模30余11和13的两类互素数，可以覆盖全部15类偶数，但缺2,4,6,8,10,12,16,18,20,22,28,32十二个偶数；14,24不再缺，另增缺一个偶数32.
去掉模30余13的1类互素数的工况，不能遍历偶数的个数增加到9个，20,32不能被合成；
再去掉模30余11的1类互素数的工况，不能遍历偶数的个数增加到10个，18,22,28不能被合成；
14=7+7，24=7+17，不能遍历的偶数变成7+3+2=12个：（32=13+19，13被去掉故32不再被合成）
余        个        余        个        余        个
0        7        10        6        20        6
2        5        12        6        22        6
4        6        14        7        24        7
6        6        16        6        26        7
8        6        18        6        28        6
表中个数等于7的可遍历，等于6的缺一个，等于5的缺2个（2和32），没有等于0的可全部遍历。
其余13种两两组合工况不再累述。

任五类无穷型二素数和（共56种组合），其中24种有可能覆盖除少数小偶数以外的13类偶数，24种可覆盖12类偶数，8种可覆盖10类偶数。
8缺3，肯定是不行的啦！