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互素数和与哥德巴赫猜想

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发表于 2021-10-20 05:25 | 显示全部楼层 |阅读模式
互素数和与哥德巴赫猜想

两个与6互素的正整数5,7,11,13,17……之和可以遍历≥10的全部偶数。
仅用5和7同与6互素的5,7,11,13,17……一列正整数相加,即可得到大于等于10的全部偶数:
5+5=10,5+11=16,5+17=22,……,5+(6k-1)=6k+4;
5+7=12,5+13=18,5+19=24,……,5+(6k+1)=6k+6;
7+5=12,7+11=18,7+17=24,……,7+(6k-1)=6k+6;
7+7=14,7+13=20,7+19=26,……,7+(6k+1)=6k+8。
偶数10,14,16,20,22,……,6k+4、6k+8的和式个数都是1;12,18,24,……,6k+6的和式个数都是2;k≥1。
 楼主| 发表于 2021-10-20 05:30 | 显示全部楼层
本帖最后由 yangchuanju 于 2021-10-20 05:33 编辑

两个与30互素的正整数7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47,49,53,59,61……之和可以遍历14及≥18的全部偶数。
仅用7,11,13,17,19,23,29和31(8个互素数)同与30互素的7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47,49,53,59,61……一列正整数相加,即可得到14及≥18的全部偶数:
互素数        7        11        13        17        19        23        29        31
7        14        18        20        24        26        30        36        38
11        18        22        24        28        30        34        40        42
13        20        24        26        30        32        36        42        44
17        24        28        30        34        36        40        46        48
19        26        30        32        36        38        42        48        50
23        30        34        36        40        42        46        52        54
29        36        40        42        46        48        52        58        60
31        38        42        44        48        50        54        60        62
37        44        48        50        54        56        60        66        68
41        48        52        54        58        60        64        70        72
43        50        54        56        60        62        66        72        74
47        54        58        60        64        66        70        76        78
49        56        60        62        66        68        72        78        80
53        60        64        66        70        72        76        82        84
59        66        70        72        76        78        82        88        90
61        68        72        74        78        80        84        90        92

将8*8=64个和数分别加上30k即为通式,式中k≥0。

表中14,18-62的个数分别为:
偶        个        偶        个        偶        个        偶        个
14        1        28        2        40        4        52        3
18        2        30        6        42        6        54        6
20        2        32        2        44        3        56        3
22        1        34        3        46        3        58        3
24        4        36        6        48        6        60        8
26        3        38        3        50        4        62        3

用7,11,13,17,19,23,29和31(8个互素数)同与30互素的7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47,49,53,59,61(8*2=16个互素数)正整数相加,可得到14及18-62的全部偶数:
在此基础上再加上60,90,120……,可得到14及18-92,18-122,18-152……的全部偶数;
继续加下去,即可得到14及大于等于18的全部偶数。
故两个与30互素的正整数7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47,49,53,59,61……之和可以遍历≥18的全部偶数。

上述加法中没有素数3和5,将3和5补进去,6=3+3,8=3+5,10=5+5,12=5+7,16=3+13=5+11,即得到≥6的全部偶数。
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 楼主| 发表于 2021-10-20 05:35 | 显示全部楼层
两个与210互素的正整数11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47,53,59,61……211,……之和可以遍历≥22的全部偶数。
仅用11,13,17,19,23,29,……211(48个互素数)同与210互素的11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47,53,59,61,……421(48*2个互素数)正整数相加,即可得到22-422的全部偶数:

偶数        个数        偶数        个数        偶数        个数        偶数        个数
2        0        108        12        214        15        320        20
4        0        110        8        216        30        322        18
6        0        112        10        218        15        324        30
8        0        114        16        220        20        326        15
10        0        116        8        222        30        328        15
12        0        118        9        224        18        330        40
14        0        120        22        226        15        332        15
16        0        122        7        228        30        334        15
18        0        124        10        230        20        336        36
20        0        126        20        232        15        338        15
22        1        128        6        234        30        340        20
24        2        130        12        236        15        342        30
26        1        132        18        238        18        344        15
28        2        134        9        240        40        346        15
30        4        136        8        242        15        348        30
32        2        138        16        244        15        350        24
34        3        140        14        246        30        352        15
36        4        142        11        248        15        354        30
38        1        144        20        250        20        356        15
40        4        146        9        252        36        358        15
42        6        148        10        254        15        360        40
44        2        150        26        256        15        362        15
46        3        152        8        258        30        364        18
48        6        154        14        260        20        366        30
50        4        156        20        262        15        368        15
52        4        158        9        264        30        370        20
54        8        160        16        266        18        372        30
56        4        162        22        268        15        374        15
58        5        164        10        270        40        376        15
60        10        166        11        272        15        378        36
62        3        168        26        274        15        380        20
64        6        170        14        276        30        382        15
66        8        172        12        278        15        384        30
68        2        174        24        280        24        386        15
70        8        176        12        282        30        388        15
72        10        178        11        284        15        390        40
74        5        180        32        286        15        392        18
76        6        182        14        288        30        394        15
78        10        184        14        290        20        396        30
80        6        186        26        292        15        398        15
82        7        188        12        294        36        400        20
84        14        190        18        296        15        402        30
86        5        192        26        298        15        404        15
88        6        194        13        300        40        406        18
90        16        196        16        302        15        408        30
92        6        198        26        304        15        410        20
94        7        200        18        306        30        412        15
96        12        202        15        308        18        414        30
98        6        204        30        310        20        416        15
100        10        206        15        312        30        418        15
102        14        208        14        314        15        420        48
104        6        210        46        316        15        422        15
106        7        212        14        318        30               

在此基础上再加上420,630,840……,可得到22-632,22-842,22-1052……的全部偶数;
继续加下去,即可得到大于等于22的全部偶数。
故用两个与210互素的正整数11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47,53,59,61……,211……之和可以遍历≥22的全部偶数。

上述加法中没有素数3,5和7,将3,5和7补进去,6=3+3,8=3+5,10=5+5,12=5+7,14=3+11=7+7,16=3+13=5+11,18=5+13=7+11,20=3+17=7+13,即得到≥6的全部偶数。
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 楼主| 发表于 2021-10-20 05:47 | 显示全部楼层
继续下去,
用与2310互素的480个互素数同与2310互素的2组、3组、……无穷组互素数相加,可得≥26的全部偶数;
用与30030互素的5760个互素数同与30030互素的2组、3组、……无穷组互素数相加,可得≥34的全部偶数;
用与510510互素的92160个互素数同与510510互素的2组、3组、……无穷组互素数相加,可得≥38的全部偶数;
…………
用与p#互素的1组互素数同与p#互素的2组、3组、……无穷组互素数相加,可得≥2p的全部偶数;其中素数p可以无穷大。

互素数中只有部分是素数,虽然2个互素数之和可遍历(覆盖)全部≥6的偶数,但还不能由此导出哥德巴赫猜想。
尽管在此不能导出哥德巴赫猜想,但它也是证明哥猜的一种思路,值的继续向下研究!
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发表于 2021-10-20 06:42 | 显示全部楼层
本帖最后由 cuikun-186 于 2021-10-21 09:31 编辑

双筛法证明:每个大于等于6的偶数都是2个奇素数之和
崔坤
中国青岛,266200,E-mail:cwkzq@126.com
摘要:根据古老的埃氏筛法推出双筛法,对所得真值公式:r2(N)=(N/2)∏mr进行下限值估计,
从而证明了r2(N)≧[0.92129^2*N/(lnN)^2]≥1个奇素数,即证明了每个大于等于6的偶数都是2个奇素数之和
关键词:埃氏筛法,双筛法,素数定理,共轭数列,真实剩余比
Cuikun
Qingdao,China,266200, E-mail:cwkzq@126.com
The double screen method is used to prove that:
Every even number greater than or equal to 6 is the sum of two odd primes
Abstract: the double sieve method is derived from the ancient Ehrlich sieve method, and the lower limit of the truth formula: r2 (N) = (N / 2) Πmr is estimated. It is proved that r2 (N) ≥ [0.92129^2*N/(lnN)^2]≥1,
That is, it is proved that every even number greater than or equal to 6 is the sum of two odd primes
Key words: Ehrlich sieve method, double sieve method, prime theorem, conjugate sequence,True residual ratio
证明:
对于共轭互逆数列A、B:
A:{1,3,5,7,9,……,(N-1)}
B:{(N-1),……,9,7,5,3,1}
双筛法的步骤:
首先给出:偶数N=2n+4,建立如下互逆数列:
首项为1,末项为N-1,公差为2的等差数列A
再给出首项为N-1,末项为1,公差为-2的等差数列B
显然N=A+B
根据埃氏筛法获得奇素数集合P:
{1,3,5,…,Pr},Pr<N^1/2
为了获得偶数N的(1+1)表法数,按照双筛法进行分步操作:
第1步:将互逆数列用3双筛后得到真实剩余比m1
第2步:将余下的互逆数列用5双筛后得到真实剩余比m2
第3步:将余下的互逆数列用7双筛后得到真实剩余比m3

依次类推到:
第r步:将余下的互逆数列用Pr双筛后得到真实剩余比mr
这样就完成了对偶数N的求双筛法(1+1)表法数,根据乘法原理有:
r2(N)=(N/2)*m1*m2*m3*…*mr
即r2(N)=(N/2)∏mr
例如:
[√70]=8,{Pr}={1,3,5,7},
3|/70,m1=13/35
5|70, m2=10/13
7|70, m3=10/10
根据真值公式得:
r2(70)
=(70/2)*m1*m2*m3
=35*13/35/10/13*10/10
=10
r2(70)=10
分析双筛法的逻辑和r2(N)下限值:
在王元的文献《谈谈素数》中:a=0.92129,A=1.105548;切比雪夫不等式是:a(x/lnx) ≤π (x)≤ A(x/lnx)
对于偶数N≥6,则有:1.105548(N/lnN)≥π (N)≥0.92129(N/lnN),
双筛法本质上第一步:先对A数列筛选:A中至少有[0.92129(N/lnN)]个奇素数,
即此时的共轭互逆数列AB中至少有[0.92129(N/lnN)]个奇素数
第二步:再对B数列进行筛选,筛子是相同的0.92129/lnN
由此推得共轭数列AB中至少有:r2(N)≥[0.92129^2*N/(lnN)^2]个奇素数。
例如:70
第一步:先对A数列筛选,A中至少有[0.92129(N/lnN)]=[0.92129*70/ln70]=15个奇素数,π(70)=19,
即此时的共轭互逆数列AB中至少有[0.92129(N/lnN)]=[0.92129*70/ln70]=15个奇素数。

第二步:再对B数列进行筛选,筛子是相同的0.92129/ln70,由此推得共轭数列AB中至少有:
r2(70)≥[0.92129^2*70/(ln70)^2]=3个奇素数,r2(70)=10

不难看出所给的数列一共有3个,
第一个是A数列,其中至少有[0.92129(N/lnN)]个奇素数;
第二个是与A共轭的B数列,其中至少有[0.92129(N/lnN)]个奇素数;
第三个是AB数列,其中至少有2[0.92129(N/lnN)]个奇素数。
结论:r2(N)≥[0.92129^2*N/(lnN)^2]≥1个奇素数。
参考文献:
[1]华罗庚,《数论导引》,科学出版社,1957-07
[2]王元,《谈谈素数》,哈尔滨工业大学出版社,2011-3
[3]李文林,《数学瑰宝——历史文献精选》,科学出版社,1998 年,第 368 页

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 楼主| 发表于 2021-10-21 09:26 | 显示全部楼层
本帖最后由 yangchuanju 于 2021-10-21 09:29 编辑

前已证明8个互素数7,11,13,17,19,23,29,31(都是素数)和与30互素的7,11,13,17,19,23,29,31,37,41……中的两个互素数之和能够遍历(覆盖)14及所有≥18的偶数。
尚若去掉其中模30余1,或余7,或余11,……或余29的,还能够遍历(覆盖)除少数小偶数以外的所有偶数吗?
答案是肯定的,能!8类缺1类,仍可遍历全体偶数!
去掉模30余1的,不能遍历偶数的个数还是7个:2,4,6,8,10,12,16;
去掉模30余7的,不能遍历偶数的个数增加到10个;14,18,20不能被合成;
去掉模30余11的,不能遍历偶数的个数增加到10个;18,22,28不能被合成;
去掉模30余13的,不能遍历偶数的个数增加到9个;20,32不能被合成;
去掉模30余17的,不能遍历偶数的个数增加到8个;28不能被合成;
去掉模30余19的,不能遍历偶数的个数增加到8个;32不能被合成;
去掉模30余23的,不能遍历偶数的个数还是7个:2,4,6,8,10,12,16;
去掉模30余29的,不能遍历偶数的个数还是7个:2,4,6,8,10,12,16。

8缺1没问题,8缺2如何?稍后讨论。
但8缺3,8缺4,8缺5,8缺6,8缺7,肯定是不行的。
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 楼主| 发表于 2021-10-21 09:30 | 显示全部楼层
8缺2,即仅用模30的6类互素数来合成偶数,
前曾在《两素数和能否覆盖全体偶数问题探讨》中给出:
任六类无穷型二素数和(共28种组合),内有12种最多覆盖13类偶数:
缺模30余1和7的素数和,不能覆盖模30余14和20的偶数;
缺模30余1和13的素数和,不能覆盖模30余2和20的偶数;
缺模30余1和19的素数和,不能覆盖模30余2和8的偶数;
缺模30余7和13的素数和,不能覆盖模30余14和26的偶数;
缺模30余7和19的素数和,不能覆盖模30余8和20的偶数;
缺模30余11和17的素数和,不能覆盖模30余4和10的偶数;
缺模30余11和23的素数和,不能覆盖模30余10和22的偶数;
缺模30余11和29的素数和,不能覆盖模30余22和28的偶数;
缺模30余13和19的素数和,不能覆盖模30余20和26的偶数;
缺模30余17和23的素数和,不能覆盖模30余4和16的偶数;
缺模30余17和29的素数和,不能覆盖模30余10和28的偶数;
缺模30余23和29的素数和,不能覆盖模30余10和16的偶数。
12种不被覆盖的偶数,两两成对,偶数和等于30;缺少的素数和也等于30。
其余16种任六类无穷型二素数和应该能覆盖除少数小偶数以外的全部15类偶数。

上述12种互素数和是不能遍历全部15类偶数的。
其余16种是:1+11,1+17,1+23,1+29,7+11,7+17,7+23,7+29,11+13,11+19,13+17,13+23,13+29,17+19,19+23,19+29。

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 楼主| 发表于 2021-10-21 09:33 | 显示全部楼层
例1:去掉模30余1和7的两类互素数,不能覆盖模30余14和20的偶数;
余        个        余        个        余        个
0        7        10        6        20        0
2        6        12        6        22        7
4        6        14        0        24        7
6        6        16        6        26        7
8        6        18        6        28        7
表中个数等于7的可遍历,等于6的缺一个,等于0的不能遍历。

例2:去掉模30余1和11的两类互素数,可以覆盖全部15类偶数,但缺2,4,6,8,10,12,16,18,22,28十个偶数;
同去掉模30余11的1类互素数的工况,不能遍历偶数的个数增加到10个,18,22,28不能被合成;因去掉模30余11的1类互素数不能遍历偶数的个数不变:
余        个        余        个        余        个
0        7        10        6        20        7
2        6        12        6        22        6
4        6        14        7        24        7
6        6        16        6        26        7
8        6        18        6        28        6
表中个数等于7的可遍历,等于6的缺一个,没有等于0的可全部遍历。

例3:去掉模30余7和11的两类互素数,可以覆盖全部15类偶数,但缺2,4,6,8,10,12,14,16,18,20,22,24,28十三个偶数;
去掉模30余7的1类互素数的工况,不能遍历偶数的个数增加到10个,14,18,20不能被合成;
再去掉模30余11的1类互素数的工况,不能遍历偶数的个数增加到10个,18,22,28不能被合成;
内有一个偶数18是重复的,然而24不能再合成:24不再等于7+17或11+13,不能遍历的偶数变成7+3+3-1+1=13个:
余        个        余        个        余        个
0        7        10        6        20        6
2        6        12        6        22        6
4        6        14        6        24        6
6        6        16        6        26        7
8        6        18        6        28        6
表中个数等于7的可遍历,等于6的缺一个,没有等于0的可全部遍历。

例4:去掉模30余11和13的两类互素数,可以覆盖全部15类偶数,但缺2,4,6,8,10,12,16,18,20,22,28,32十二个偶数;14,24不再缺,另增缺一个偶数32.
去掉模30余13的1类互素数的工况,不能遍历偶数的个数增加到9个,20,32不能被合成;
再去掉模30余11的1类互素数的工况,不能遍历偶数的个数增加到10个,18,22,28不能被合成;
14=7+7,24=7+17,不能遍历的偶数变成7+3+2=12个:(32=13+19,13被去掉故32不再被合成)
余        个        余        个        余        个
0        7        10        6        20        6
2        5        12        6        22        6
4        6        14        7        24        7
6        6        16        6        26        7
8        6        18        6        28        6
表中个数等于7的可遍历,等于6的缺一个,等于5的缺2个(2和32),没有等于0的可全部遍历。
其余13种两两组合工况不再累述。

任五类无穷型二素数和(共56种组合),其中24种有可能覆盖除少数小偶数以外的13类偶数,24种可覆盖12类偶数,8种可覆盖10类偶数。
8缺3,肯定是不行的啦!
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