一个相互矛盾的概率算法，请大神指出错误，谢谢

zzhhua0425

一颗16个面的色子，有一个面是2点，其他都是1点：
1）按照大数定律来算，出现1点和2点的次数比例应该是15:1，平均出现15次1点，出现1次2点。
2）但是，如果用另一种算法，每掷一次筛子，出现1点的概率为15/16，那么：第一次仍色子，1点概率为15/16，第二次扔，1点的概率为（15/16）^2.......，第11次（15/16）^11=0.49，按此算法，11次（含）以内出现2点的概率为0.51，11次以后出现2点的概率为0.49，是不是可以说平均每11次1点就应该出现1次2点？

这两种算法哪个正确？错误的那个漏洞是什么？还请论坛里的大神多多拍砖！

luyuanhong

第二种算法是不对的。第二种算法的推理逻辑是：

扔 11 次，在 11 次中，一次也不出现 2 点的概率为 0.49 ，至少出现一次 2 点的概率为 0.51。

因为至少出现一次 2 点的概率，超过了 1/2 ，所以就断定：每扔 11 次，就必定会出现一次 2 点。

这样的推理，其实是不成立的。


举个简单的例子，设某个事件，在一次试验中，发生的概率是 1/3，不发生的概率是 2/3 。

在两次试验中，这个事件两次都不发生的概率为 (2/3)^2 = 4/9 ，至少发生一次的概率为 1 - 4/9 = 5/9 。

因为 5/9＞1/2 ，所以，按照第二种算法的逻辑，就应该断定：这个事件，每试验两次，就必定要发生一次。

试想一下，每次试验，发生的概率是 1/3 ，怎么能保证每两次试验就必定要发生一次呢？

可见，这样的推理，显然是错误的。


正确的算法，应该是这样的：

在两次试验中，这个事件两次都不发生的概率为 (2/3)^2 = 4/9 。

在两次试验中，这个事件恰好发生一次的概率为 (2/3)×(1/3)+(1/3)×(2/3) = 2/9 + 2/9 = 4/9 。

在两次试验中，这个事件恰好发生两次的概率为 (1/3)^2 = 1/9 。

所以，在两次试验中，这个事件平均发生的次数为

   0×4/9 + 1×4/9 + 2×1/9 = 0 + 4/9 + 2/9 = 6/9 = 2/3 。

可见，在两次试验中，这个事件平均发生的次数只有 2/3 次，还不到一次。

再将它除以 2 ，就可得知：在一次试验中，这个事件平均发生的次数是 1/3 次。

再将它乘以 3 ，就可得知：每试验 3 次，这个事件平均发生一次。这就完全符合我们的直观想法了。


同样道理，楼上帖子中的例子，按照正确的算法，应该是这样的：

扔 11 次，一次也不出现 2 点的概率为 (15/16)^11 = 0.4916816953 。

扔 11 次，恰好出现 1 次 2 点的概率为 C(11,1)×(15/16)^10×(1/16) = 0.3605665765 。

扔 11 次，恰好出现 2 次 2 点的概率为 C(11,2)×(15/16)^9×(1/16)^2 = 0.1201888588 。

扔 11 次，恰好出现 3 次 2 点的概率为 C(11,3)×(15/16)^8×(1/16)^3 = 0.0240377718 。

扔 11 次，恰好出现 4 次 2 点的概率为 C(11,4)×(15/16)^7×(1/16)^4 = 0.0032050362 。

扔 11 次，恰好出现 5 次 2 点的概率为 C(11,5)×(15/16)^6×(1/16)^5 = 0.0002991367 。

扔 11 次，恰好出现 6 次 2 点的概率为 C(11,6)×(15/16)^5×(1/16)^6 = 0.0000199424 。

扔 11 次，恰好出现 7 次 2 点的概率为 C(11,7)×(15/16)^4×(1/16)^7 = 0.0000009496 。

扔 11 次，恰好出现 8 次 2 点的概率为 C(11,8)×(15/16)^3×(1/16)^8 = 0.0000000317 。

扔 11 次，恰好出现 9 次 2 点的概率为 C(11,9)×(15/16)^2×(1/16)^9 = 0.0000000007 。

扔 11 次，恰好出现 10 次 2 点的概率为 C(11,10)×(15/16)×(1/16)^10 = 0.0000000000 。

扔 11 次，恰好出现 11 次 2 点的概率为 (1/16)^11 = 0.0000000000 。

所以，扔 11 次，出现 2 点的平均次数是：

   0×0.4916816953 + 1×0.3605665765 + 2×0.1201888588 + 3×0.0240377718

+ 4×0.0032050362 + 5×0.0002991367 + 6×0.0000199424 + 7×0.0000009496

+ 8×0.0000000317 + 9×0.0000000007 + 10×0.0000000000 + 11×0.0000000000

  = 0.6875000000 = 11/16 。

可见，扔 11 次，在这 11 次中出现 2 点的平均次数是 11/16 次，还不到一次。

再将它除以 11 ，就可得知：每扔一次，出现 2 点的平均次数是 1/16 次。

再将它乘以 16 ，就可以得知：每扔 16 次，平均可以出现 2 点一次。

zzhhua0425

luyuanhong 发表于 2021-10-24 00:09
第二种算法是不对的。第二种算法的推理逻辑是：

扔 11 次，在 11 次中，一次也不出现 2 点的概率为 0.49 ...

感谢大神的详细解答

zzhhua0425

luyuanhong 发表于 2021-10-23 16:09
第二种算法是不对的。第二种算法的推理逻辑是：

扔 11 次，在 11 次中，一次也不出现 2 点的概率为 0.49 ...

Luyuanhong老师，您好：
关于这个问题，还想请教：每次出现2点间隔期间出现1点的次数统计出来是否是一个平均值为15的正态分布，如果是的话，方差是多少？
感谢感谢！

luyuanhong