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谈谈连乘积哥猜公式误差
可以使用连乘积的公式来计算偶数M的素数对的数量。
任意一个偶数2A，拆分为两个整数的形式，都可以表示成（A-x)+(A+x) ,判断偶数M所分成的A-x与A+x两个数是否都是素数，依据艾拉托尼筛法，可有如下2个情况：
条件a ：A-x与A+x 两个数同时不能够被≤r的所有素数整除时，两个数都是素数； [r为≤√(M-2)的最大素数, 下同。]
条件b：A+x不能够被≤r的所有素数整除，而A-x等于其中某个素数，两个数都是素数；
若把x值的取值范围[0，A-3]里面符合条件a的x值的个数记为S1(m)，符合条件b的x值的个数记为S2(m)，由上述的两个条件，即可得到偶数M分成两个素数的全部分法数量 S(m)，有
S(m)=S1(m)+S2(m) .---------（式1）
对于把偶数M分成的两个素数A-x与A+x的条件a，可看成变量x符合某种由偶数半值A所限定条件的数，其在自然数区间[0，A-3] 中的分布规律，可归纳为一个概率问题：
除以素数2，3，…，n，…，r时余数同时满足不等于j2、j3及(3－j3)、…、jn及(n－jn)、…、jr及(r -jr)的数的发生概率问题，这里的j2,j3,…,jn,…，jr系A除以素数2，3，…，n，…，r时的余数。
我们知道，对于一个自然数区域里面的数，
分别除以2、3以及其它素数5，…，r 时得到的余数都是以该被除素数的值为周期循环变化，而偶数数列、奇数数列除以2以外的其它素数3，5，…，r 时得到的余数仍然是以该被除的素数值为周期循环变化。这反映了自然数除以不同素数得到的余数具有互相独立的特性。
由于符合条件a的x值，就是除以素数2，3，…，r时余数同时满足不等于j2、j3及(3－j3)、j5及(5－j5)、…、jr及(r -jr)的数。
显然在x取值的自然数区间中，
除以2时，余数满足不等于j2 的数的发生概率为1/2；
除以3时，余数满足不等于j3 及（3-j3 ）的数的发生概率为（3-2）/3，（j3≠0时）；或发生概率为（3-1）/3，（j3=0时）；
除以5时，余数满足不等于j5 及（5-j5 ）的数的发生概率为（5-2）/5，（j5≠0时）；或发生概率为（5-1）/5，（j=0时）；
…
除以n时，余数满足不等于jn 及（n-jn）的数的发生概率为（n-2）/n，（jn≠0时）；或发生概率为（n-1）/n，（jn=0时）；
…
除以r时，余数满足不等于jr 及（r-jr）的数的发生概率为（r-2）/r，（jr≠0时）；或发生概率为（r-1）/r，（jr=0时）；
因此依据概率的独立事件的乘法原理，符合条件a：
除以素数2，3，…，n，…，r时余数同时满足不等于j2、j3及(3－j3)、j5及(5－j5)、…、jr及(r -jr)的x值的分布概率P(m) 有
P(m)=P(2·3·…·n·…*r)
=P(2)P(3)…P(n)…P(r) . -----------{式2}
故在[0，A-3] 中的这个自然数区域中使偶数Ｍ分成两个符合条件a的素数的x值数量的概率计算值Sp(m)，有：
Sp(m)=(A-2)P(m)
= (A-2) P(2·3·…·n·…·r)
=(A-2)*P(2)P(3)…P(n)…P(r)
=(A-2)*(1/2)*f(3)*…*f(n)*…*f(r). -----------{式3}
式中：3≤ n≤r；n是素数。f(n)=(n-1)/n, [jn=0时]；或f(n)=(n-2)/n, [jn>0时] 。jn系A除以n时的余数。
对于{式3}的计算式，注意到A含有奇素因子时的f(n)的不同取值，可以变形成另外的一种形式：
Sp(m)= (A-2)/2*π[(n-2)/n]*π[(k-1)/(k-2)] {式4}
式4中：
3≤ n≤r；n是素数;
k是偶数半值A所含的＜√(M-2)的奇素数因子.
K(m)= π[(k-1)/(k-2)],
K(m)可称为偶数M的素因子系数，也可以称为偶数M的表为两个素数和的表法数波动系数。
在式4中：
1/2*π[(n-2)/n] 实际上为偶数表为两个素数之和的最低概率p(m)min；
而(A-2)*p(m)min 就是偶数表为两个素数和的x值数量的区域低位值的表达式。
实际偶数的素对数的计算可以表明，这种概率计算的方法不仅计算方法简单,比拉曼纽扬系数C（N）的计算容易,而且概率计算值与实际真值的相对误差也比哈代公式小得多。
因此从理论上讲，素数连乘式是计算符合条件a的素数对数量的，在小偶数的范围连乘式的计算值也比较贴近实际的符合条件a的素数对数量的真值。
200内偶数的计算实例：
Sp(m)：素数连乘式四舍五入后取整。
s1(m)——即是不含小于√M的素数的素对数量。
δ1(m)—— 即为Sp(m)对s1(m)的相对误差。
δ(m)—— 即为Sp(m)对全部素对S(m)的相对误差。
M= 6 ,S(m)= 1 ( s1= 1 ,s2= 0 ), Sp(m)≈ 1 ,δ(m)≈ 0 ,δ1(m)≈ 0
M= 8 ,S(m)= 1 ( s1= 1 ,s2= 0 ), Sp(m)≈ 1 ,δ(m)≈ 0 ,δ1(m)≈ 0
M= 10 ,S(m)= 2 ( s1= 2 ,s2= 0 ), Sp(m)≈ 1 ,δ(m)≈-.5 ,δ1(m)≈-.5
M= 12 ,S(m)= 1 ( s1= 1 ,s2= 0 ), Sp(m)≈ 1 ,δ(m)≈ 0 ,δ1(m)≈ 0
M= 14 ,S(m)= 2 ( s1= 1 ,s2= 1 ), Sp(m)≈ 1 ,δ(m)≈-.5 ,δ1(m)≈ 0
M= 16 ,S(m)= 2 ( s1= 1 ,s2= 1 ), Sp(m)≈ 1 ,δ(m)≈-.5 ,δ1(m)≈ 0
M= 18 ,S(m)= 2 ( s1= 2 ,s2= 0 ), Sp(m)≈ 3 ,δ(m)≈ .5 ,δ1(m)≈ .5
M= 20 ,S(m)= 2 ( s1= 1 ,s2= 1 ), Sp(m)≈ 1 ,δ(m)≈-.5 ,δ1(m)≈ 0
M= 22 ,S(m)= 3 ( s1= 2 ,s2= 1 ), Sp(m)≈ 2 ,δ(m)≈-.333 ,δ1(m)≈ 0
M= 24 ,S(m)= 3 ( s1= 3 ,s2= 0 ), Sp(m)≈ 3 ,δ(m)≈ 0 ,δ1(m)≈ 0
M= 26 ,S(m)= 3 ( s1= 2 ,s2= 1 ), Sp(m)≈ 1 ,δ(m)≈-.667 ,δ1(m)≈-.5
M= 28 ,S(m)= 2 ( s1= 1 ,s2= 1 ), Sp(m)≈ 1 ,δ(m)≈-.5 ,δ1(m)≈ 0
M= 30 ,S(m)= 3 ( s1= 3 ,s2= 0 ), Sp(m)≈ 4 ,δ(m)≈ .333 ,δ1(m)≈ .333
M= 32 ,S(m)= 2 ( s1= 1 ,s2= 1 ), Sp(m)≈ 1 ,δ(m)≈-.5 ,δ1(m)≈ 0
M= 34 ,S(m)= 4 ( s1= 2 ,s2= 2 ), Sp(m)≈ 2 ,δ(m)≈-.5 ,δ1(m)≈ 0
M= 36 ,S(m)= 4 ( s1= 3 ,s2= 1 ), Sp(m)≈ 3 ,δ(m)≈-.25 ,δ1(m)≈ 0
M= 38 ,S(m)= 2 ( s1= 2 ,s2= 0 ), Sp(m)≈ 2 ,δ(m)≈ 0 ,δ1(m)≈ 0
M= 40 ,S(m)= 3 ( s1= 2 ,s2= 1 ), Sp(m)≈ 2 ,δ(m)≈-.333 ,δ1(m)≈ 0
M= 42 ,S(m)= 4 ( s1= 3 ,s2= 1 ), Sp(m)≈ 4 ,δ(m)≈ 0 ,δ1(m)≈ .333
M= 44 ,S(m)= 3 ( s1= 2 ,s2= 1 ), Sp(m)≈ 2 ,δ(m)≈-.333 ,δ1(m)≈ 0
M= 46 ,S(m)= 4 ( s1= 2 ,s2= 2 ), Sp(m)≈ 2 ,δ(m)≈-.5 ,δ1(m)≈ 0
M= 48 ,S(m)= 5 ( s1= 4 ,s2= 1 ), Sp(m)≈ 4 ,δ(m)≈-.2 ,δ1(m)≈ 0
M= 50 ,S(m)= 4 ( s1= 3 ,s2= 1 ), Sp(m)≈ 2 ,δ(m)≈-.5 ,δ1(m)≈-.333
M= 52 ,S(m)= 3 ( s1= 2 ,s2= 1 ), Sp(m)≈ 2 ,δ(m)≈-.333 ,δ1(m)≈ 0
M= 54 ,S(m)= 5 ( s1= 4 ,s2= 1 ), Sp(m)≈ 4 ,δ(m)≈-.2 ,δ1(m)≈ 0
M= 56 ,S(m)= 3 ( s1= 2 ,s2= 1 ), Sp(m)≈ 2 ,δ(m)≈-.333 ,δ1(m)≈ 0
M= 58 ,S(m)= 4 ( s1= 3 ,s2= 1 ), Sp(m)≈ 2 ,δ(m)≈-.5 ,δ1(m)≈-.333
M= 60 ,S(m)= 6 ( s1= 5 ,s2= 1 ), Sp(m)≈ 5 ,δ(m)≈-.167 ,δ1(m)≈ 0
M= 62 ,S(m)= 3 ( s1= 2 ,s2= 1 ), Sp(m)≈ 2 ,δ(m)≈-.333 ,δ1(m)≈ 0
M= 64 ,S(m)= 5 ( s1= 3 ,s2= 2 ), Sp(m)≈ 2 ,δ(m)≈-.6 ,δ1(m)≈-.333
M= 66 ,S(m)= 6 ( s1= 4 ,s2= 2 ), Sp(m)≈ 5 ,δ(m)≈-.167 ,δ1(m)≈ .25
M= 68 ,S(m)= 2 ( s1= 1 ,s2= 1 ), Sp(m)≈ 2 ,δ(m)≈ 0 ,δ1(m)≈ 1
M= 70 ,S(m)= 5 ( s1= 4 ,s2= 1 ), Sp(m)≈ 4 ,δ(m)≈-.2 ,δ1(m)≈ 0
M= 72 ,S(m)= 6 ( s1= 5 ,s2= 1 ), Sp(m)≈ 5 ,δ(m)≈-.167 ,δ1(m)≈ 0
M= 74 ,S(m)= 5 ( s1= 3 ,s2= 2 ), Sp(m)≈ 3 ,δ(m)≈-.4 ,δ1(m)≈ 0
M= 76 ,S(m)= 5 ( s1= 3 ,s2= 2 ), Sp(m)≈ 3 ,δ(m)≈-.4 ,δ1(m)≈ 0
M= 78 ,S(m)= 7 ( s1= 5 ,s2= 2 ), Sp(m)≈ 5 ,δ(m)≈-.286 ,δ1(m)≈ 0
M= 80 ,S(m)= 4 ( s1= 3 ,s2= 1 ), Sp(m)≈ 4 ,δ(m)≈ 0 ,δ1(m)≈ .333
M= 82 ,S(m)= 5 ( s1= 4 ,s2= 1 ), Sp(m)≈ 3 ,δ(m)≈-.4 ,δ1(m)≈-.25
M= 84 ,S(m)= 8 ( s1= 7 ,s2= 1 ), Sp(m)≈ 7 ,δ(m)≈-.125 ,δ1(m)≈ 0
M= 86 ,S(m)= 5 ( s1= 3 ,s2= 2 ), Sp(m)≈ 3 ,δ(m)≈-.4 ,δ1(m)≈ 0
M= 88 ,S(m)= 4 ( s1= 3 ,s2= 1 ), Sp(m)≈ 3 ,δ(m)≈-.25 ,δ1(m)≈ 0
M= 90 ,S(m)= 9 ( s1= 8 ,s2= 1 ), Sp(m)≈ 8 ,δ(m)≈-.111 ,δ1(m)≈ 0
M= 92 ,S(m)= 4 ( s1= 3 ,s2= 1 ), Sp(m)≈ 3 ,δ(m)≈-.25 ,δ1(m)≈ 0
M= 94 ,S(m)= 5 ( s1= 4 ,s2= 1 ), Sp(m)≈ 3 ,δ(m)≈-.4 ,δ1(m)≈-.25
M= 96 ,S(m)= 7 ( s1= 6 ,s2= 1 ), Sp(m)≈ 7 ,δ(m)≈ 0 ,δ1(m)≈ .167
M= 98 ,S(m)= 3 ( s1= 3 ,s2= 0 ), Sp(m)≈ 4 ,δ(m)≈ .333 ,δ1(m)≈ .333
M= 100 ,S(m)= 6 ( s1= 5 ,s2= 1 ), Sp(m)≈ 5 ,δ(m)≈-.167 ,δ1(m)≈ 0
M= 102 ,S(m)= 8 ( s1= 7 ,s2= 1 ), Sp(m)≈ 7 ,δ(m)≈-.125 ,δ1(m)≈ 0
M= 104 ,S(m)= 5 ( s1= 3 ,s2= 2 ), Sp(m)≈ 4 ,δ(m)≈-.2 ,δ1(m)≈ .333
M= 106 ,S(m)= 6 ( s1= 4 ,s2= 2 ), Sp(m)≈ 4 ,δ(m)≈-.333 ,δ1(m)≈ 0
M= 108 ,S(m)= 8 ( s1= 6 ,s2= 2 ), Sp(m)≈ 7 ,δ(m)≈-.125 ,δ1(m)≈ .167
M= 110 ,S(m)= 6 ( s1= 4 ,s2= 2 ), Sp(m)≈ 5 ,δ(m)≈-.167 ,δ1(m)≈ .25
M= 112 ,S(m)= 7 ( s1= 5 ,s2= 2 ), Sp(m)≈ 5 ,δ(m)≈-.286 ,δ1(m)≈ 0
M= 114 ,S(m)= 10 ( s1= 8 ,s2= 2 ), Sp(m)≈ 8 ,δ(m)≈-.2 ,δ1(m)≈ 0
M= 116 ,S(m)= 6 ( s1= 4 ,s2= 2 ), Sp(m)≈ 4 ,δ(m)≈-.333 ,δ1(m)≈ 0
M= 118 ,S(m)= 6 ( s1= 5 ,s2= 1 ), Sp(m)≈ 4 ,δ(m)≈-.333 ,δ1(m)≈-.2
M= 120 ,S(m)= 12 ( s1= 11 ,s2= 1 ), Sp(m)≈ 11 ,δ(m)≈-.083 ,δ1(m)≈ 0
M= 122 ,S(m)= 4 ( s1= 4 ,s2= 0 ), Sp(m)≈ 4 ,δ(m)≈ 0 ,δ1(m)≈ 0
M= 124 ,S(m)= 5 ( s1= 4 ,s2= 1 ), Sp(m)≈ 4 ,δ(m)≈-.2 ,δ1(m)≈ 0
M= 126 ,S(m)= 10 ( s1= 10 ,s2= 0 ), Sp(m)≈ 9 ,δ(m)≈-.1 ,δ1(m)≈-.1
M= 128 ,S(m)= 3 ( s1= 3 ,s2= 0 ), Sp(m)≈ 4 ,δ(m)≈ .333 ,δ1(m)≈ .333
M= 130 ,S(m)= 7 ( s1= 6 ,s2= 1 ), Sp(m)≈ 5 ,δ(m)≈-.286 ,δ1(m)≈-.167
M= 132 ,S(m)= 9 ( s1= 8 ,s2= 1 ), Sp(m)≈ 8 ,δ(m)≈-.111 ,δ1(m)≈ 0
M= 134 ,S(m)= 6 ( s1= 4 ,s2= 2 ), Sp(m)≈ 4 ,δ(m)≈-.333 ,δ1(m)≈ 0
M= 136 ,S(m)= 5 ( s1= 4 ,s2= 1 ), Sp(m)≈ 4 ,δ(m)≈-.2 ,δ1(m)≈ 0
M= 138 ,S(m)= 8 ( s1= 6 ,s2= 2 ), Sp(m)≈ 8 ,δ(m)≈ 0 ,δ1(m)≈ .333
M= 140 ,S(m)= 7 ( s1= 6 ,s2= 1 ), Sp(m)≈ 6 ,δ(m)≈-.143 ,δ1(m)≈ 0
M= 142 ,S(m)= 8 ( s1= 5 ,s2= 3 ), Sp(m)≈ 4 ,δ(m)≈-.5 ,δ1(m)≈-.2
M= 144 ,S(m)= 11 ( s1= 9 ,s2= 2 ), Sp(m)≈ 8 ,δ(m)≈-.273 ,δ1(m)≈-.111
M= 146 ,S(m)= 6 ( s1= 5 ,s2= 1 ), Sp(m)≈ 4 ,δ(m)≈-.333 ,δ1(m)≈-.2
M= 148 ,S(m)= 5 ( s1= 4 ,s2= 1 ), Sp(m)≈ 4 ,δ(m)≈-.2 ,δ1(m)≈ 0
M= 150 ,S(m)= 12 ( s1= 11 ,s2= 1 ), Sp(m)≈ 12 ,δ(m)≈ 0 ,δ1(m)≈ .091
M= 152 ,S(m)= 4 ( s1= 3 ,s2= 1 ), Sp(m)≈ 4 ,δ(m)≈ 0 ,δ1(m)≈ .333
M= 154 ,S(m)= 8 ( s1= 6 ,s2= 2 ), Sp(m)≈ 6 ,δ(m)≈-.25 ,δ1(m)≈ 0
M= 156 ,S(m)= 11 ( s1= 9 ,s2= 2 ), Sp(m)≈ 9 ,δ(m)≈-.182 ,δ1(m)≈ 0
M= 158 ,S(m)= 5 ( s1= 4 ,s2= 1 ), Sp(m)≈ 5 ,δ(m)≈ 0 ,δ1(m)≈ .25
M= 160 ,S(m)= 8 ( s1= 6 ,s2= 2 ), Sp(m)≈ 6 ,δ(m)≈-.25 ,δ1(m)≈ 0
M= 162 ,S(m)= 10 ( s1= 8 ,s2= 2 ), Sp(m)≈ 9 ,δ(m)≈-.1 ,δ1(m)≈ .125
M= 164 ,S(m)= 5 ( s1= 4 ,s2= 1 ), Sp(m)≈ 5 ,δ(m)≈ 0 ,δ1(m)≈ .25
M= 166 ,S(m)= 6 ( s1= 5 ,s2= 1 ), Sp(m)≈ 5 ,δ(m)≈-.167 ,δ1(m)≈ 0
M= 168 ,S(m)= 13 ( s1= 11 ,s2= 2 ), Sp(m)≈ 12 ,δ(m)≈-.077 ,δ1(m)≈ .091
M= 170 ,S(m)= 9 ( s1= 7 ,s2= 2 ), Sp(m)≈ 6 ,δ(m)≈-.333 ,δ1(m)≈-.143
M= 172 ,S(m)= 6 ( s1= 5 ,s2= 1 ), Sp(m)≈ 4 ,δ(m)≈-.333 ,δ1(m)≈-.2
M= 174 ,S(m)= 11 ( s1= 9 ,s2= 2 ), Sp(m)≈ 9 ,δ(m)≈-.182 ,δ1(m)≈ 0
M= 176 ,S(m)= 7 ( s1= 5 ,s2= 2 ), Sp(m)≈ 5 ,δ(m)≈-.286 ,δ1(m)≈ 0
M= 178 ,S(m)= 7 ( s1= 5 ,s2= 2 ), Sp(m)≈ 4 ,δ(m)≈-.429 ,δ1(m)≈-.2
M= 180 ,S(m)= 14 ( s1= 12 ,s2= 2 ), Sp(m)≈ 12 ,δ(m)≈-.143 ,δ1(m)≈ 0
M= 182 ,S(m)= 6 ( s1= 5 ,s2= 1 ), Sp(m)≈ 6 ,δ(m)≈ 0 ,δ1(m)≈ .2
M= 184 ,S(m)= 8 ( s1= 5 ,s2= 3 ), Sp(m)≈ 4 ,δ(m)≈-.5 ,δ1(m)≈-.2
M= 186 ,S(m)= 13 ( s1= 10 ,s2= 3 ), Sp(m)≈ 9 ,δ(m)≈-.308 ,δ1(m)≈-.1
M= 188 ,S(m)= 5 ( s1= 4 ,s2= 1 ), Sp(m)≈ 5 ,δ(m)≈ 0 ,δ1(m)≈ .25
M= 190 ,S(m)= 8 ( s1= 7 ,s2= 1 ), Sp(m)≈ 6 ,δ(m)≈-.25 ,δ1(m)≈-.143
M= 192 ,S(m)= 11 ( s1= 9 ,s2= 2 ), Sp(m)≈ 9 ,δ(m)≈-.182 ,δ1(m)≈ 0
M= 194 ,S(m)= 7 ( s1= 5 ,s2= 2 ), Sp(m)≈ 5 ,δ(m)≈-.286 ,δ1(m)≈ 0
M= 196 ,S(m)= 9 ( s1= 7 ,s2= 2 ), Sp(m)≈ 6 ,δ(m)≈-.333 ,δ1(m)≈-.143
M= 198 ,S(m)= 13 ( s1= 11 ,s2= 2 ), Sp(m)≈ 11 ,δ(m)≈-.154 ,δ1(m)≈ 0
M= 200 ,S(m)= 8 ( s1= 6 ,s2= 2 ), Sp(m)≈ 6 ,δ(m)≈-.25 ,δ1(m)≈ 0
如果把连续偶数的素对数据Sp(m)、S1(m)的值点在坐标图上连接起来，可以看到两条折线图形是很接近的，波动的规律也相似：
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发表于 2021-10-26 20:22
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