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连乘积哥猜公式误差分析

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发表于 2021-10-26 20:22 | 显示全部楼层 |阅读模式
本帖最后由 yangchuanju 于 2021-11-29 08:15 编辑

连乘积哥猜公式误差分析

如何求一个偶数的哥德巴赫猜想分拆数(哥猜数)?
求哥猜数的基本原理是埃氏筛法,首先将一个偶数2m分解成两列正整数对,
第一列从1、2、3到2m-2、2m-1,第二列从2m-1,2m-2到3、2、1,两两对齐;
分别用埃氏筛法删除两列正整数列中的合数和1,剩下两列中的素数;
统计两列数中仍然成对的素数对数既是所求哥猜数(有序哥猜数,或称双计哥猜数)。

原理简单,但计算和统计复杂,从古至今无数数学家及数学爱好者都在这方面付出大量心血,给出了各种分拆方法和计算公式,遗憾地是至今没有一个简单的、精确的计算公式。
在各种计算公式之中,连乘积计算式是其中比较普通并广泛应用的一种,例∏(p-2)/p*∏(p-1)/(p-2)*m,
式中第一个连乘积中的p从3取至偶数2m平方根以内的最大素数,第二个连乘积中的p仅取能整除2m的素数,最大也是偶数2m平方根以内的最大素数。

∏(p-2)/p*∏(p-1)/(p-2)*m的计算值往往与真正的哥猜数相差很多,于是人们又用各种不同的方法及各种不同的系数进行修正。
首先∏(p-2)/p*∏(p-1)/(p-2)*m之值中包括1+(2m-1)和(2m-1)+1,分拆过程中可能被删除,也可能没被删除;若分拆过程中没被删除,则必须另行删除;
其次∏(p-2)/p*∏(p-1)/(p-2)*m之值中不再包括3+(2m-3)和(2m-3)+3、5+(2m-5)和(2m-5)+5等奇数对,若它们是素数对,则必须补上。
当2m数值较小时,二次删除和补回是可以的,但当2m很大时就不容易了。
于是人们往往不单独二次删除含1的奇数对,也不单独补回含3、5、7……的素数对,而是综合到一个校正系数中,
例用∏(p-2)/p*∏(p-1)/(p-2)*μ*m计算哥猜数。
 楼主| 发表于 2021-10-26 20:24 | 显示全部楼层
本帖最后由 yangchuanju 于 2021-10-27 04:40 编辑

误差分析
对于偶数10-24,这8个偶数仅受素数3控制,10-24平方根以内的最大素数是3;
∏(p-2)/p=(3-2)/3=1/3,用∏_1表示;
当2m=12,18,24时,∏(p-1)/(p-2)=(3-1)/(3-2)=2,用∏_2表示;其余2m偶数不出现p,∏(p-1)/(p-2)取作1;第2个连乘积(∏_2)亦称“波动因子”。
偶数        ∏_1        ∏_2        计算剩余        实际剩余        误差       
10        0.333         1        1.667         1        0.667        
12        0.333         2        4.000         4        0.000        
14        0.333         1        2.333         3        -0.667        
16        0.333         1        2.667         2        0.667        
18        0.333         2        6.000         6        0.000        
20        0.333         1        3.333         4        -0.667        
22        0.333         1        3.667         3        0.667        
24        0.333         2        8.000         8        0.000        
                                               
偶数        计算剩余        减含1奇数对        加含3素数对        校正后剩余        哥猜数R2        误差
10        1.667                 2        3.667         3        0.667
12        4.000         2                2.000         2        0.000
14        2.333         2        2        2.333         3        -0.667
16        2.667                 2        4.667         4        0.667
18        6.000         2                4.000         4        0.000
20        3.333         2        2        3.333         4        -0.667
22        3.667                 2        5.667         5        0.667
24        8.000         2                6.000         6        0.000

最大正误差0.667,最小负误差-0.667;当2m=12,18,24时无误差。误差0.667,0,-0.667交替出现。
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 楼主| 发表于 2021-10-26 20:29 | 显示全部楼层
本帖最后由 yangchuanju 于 2021-10-27 04:40 编辑

对于偶数26-48,这12个偶数受素数3和5共同控制,26-48平方根以内的最大素数是5;
∏(p-2)/p=(3-2)/3*(5-2)/5=1/5,用∏_1表示;
当2m=36,42,48时,∏(p-1)/(p-2)=(3-1)/(3-2)=2;当2m=40时,∏(p-1)/(p-2)=(5-1)/(5-2)=1.333;
当2m=30时,∏(p-1)/(p-2)=(3-1)/(3-2)*(5-1)/(5-2)=2.667;用∏_2表示;其余2m偶数不出现p=2或5,∏(p-1)/(p-2)取作1;
偶数        ∏_1        ∏_2        计算剩余        实际剩余        误差
26        0.2        1        2.600         3.000         -0.400
28        0.2        1        2.800         2.000         0.800
30        0.2        2.667         8.000         8.000         0.000
32        0.2        1        3.200         4.000         -0.800
34        0.2        1        3.400         3.000         0.400
36        0.2        2        7.200         6.000         1.200
38        0.2        1        3.800         5.000         -1.200
40        0.2        1.333         5.333         4.000         1.333
42        0.2        2        8.400         8.000         0.400
44        0.2        1        4.400         6.000         -1.600
46        0.2        1        4.600         3.000         1.600
48        0.2        2        9.600         10.000         -0.400

偶数        减含1奇数对        加含3素数对        加含5素数对        校正后剩余        哥猜数R2        误差
26                2                4.600         5        -0.400
28                        2        4.800         4        0.800
30        2                        6.000         6        0.000
32        2        2                3.200         4        -0.800
34                2        2        7.400         7        0.400
36                        2        9.200         8        1.200
38        2                        1.800         3        -1.200
40                2                7.333         6        1.333
42        2                2        8.400         8        0.400
44        2        2                4.400         6        -1.600
46                2        2        8.600         7        1.600
48        2                2        9.600         10        -0.400

最大正误差1.6,最小负误差-1.6,当2m=30时无误差,因为30是3和5的倍数。
各个误差不在简单的循环出现。

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有相互抵消了  发表于 2021-10-27 03:52
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 楼主| 发表于 2021-10-26 20:32 | 显示全部楼层
本帖最后由 yangchuanju 于 2021-11-29 08:20 编辑

例偶数26用2筛,筛掉一半,仅剩奇数对13对;
26不是3的倍数,用3筛,筛掉2/3,剩余计算值4.33,实剩余5对,误差(计算值-实际值)-0.67;
26不是5的倍数,用5筛,筛掉2/5,剩余计算值2.6,实剩余3,误差(计算值-实际值)-0.4;

28用2筛,筛掉一半,仅剩奇数对14对;
28不是3的倍数,用3筛,筛掉2/3,剩余计算值4.67,实剩余4对,误差(计算值-实际值)0.67;
28不是5的倍数,用5筛,筛掉2/5,剩余计算值2.8,实剩余2,误差(计算值-实际值)0.8;

30用2筛,筛掉一半,仅剩奇数对15对;
30是3的倍数,用3筛,筛掉1/3,余10对,不产生误差;
30是5的倍数,用5筛,筛掉1/5,剩余计算值8,实剩余8,误差(计算值-实际值)0;

32用2筛,筛掉一半,仅剩奇数对16对;
32不是3的倍数,用3筛,筛掉2/3,剩余计算值5.33,实剩余6对,误差(计算值-实际值)-0.67;
32不是5的倍数,用5筛,筛掉2/5,剩余计算值3.2,实剩余4,误差(计算值-实际值)-0.8;
…………
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 楼主| 发表于 2021-10-26 20:35 | 显示全部楼层
本帖最后由 yangchuanju 于 2021-10-27 04:41 编辑

对于偶数50-120,这36个偶数受素数3、5和7共同控制,50-120平方根以内的最大素数是7。
偶数        ∏_1        ∏_2        计算剩余        实际剩余        误差
50        0.1429         1.333         4.762         4        0.762
52        0.1429         1.000         3.714         4        -0.286
54        0.1429         2.000         7.714         10        -2.286
56        0.1429         1.200         4.800         4        0.800
58        0.1429         1.000         4.143         5        -0.857
60        0.1429         2.667         11.429         12        -0.571
62        0.1429         1.000         4.429         5        -0.571
64        0.1429         1.000         4.571         6        -1.429
66        0.1429         2.000         9.429         8        1.429
68        0.1429         1.000         4.857         4        0.857
70        0.1429         1.600         8.000         8        0.000
72        0.1429         2.000         10.286         12        -1.714
74        0.1429         1.000         5.286         7        -1.714
76        0.1429         1.000         5.429         6        -0.571
78        0.1429         2.000         11.143         10        1.143
80        0.1429         1.333         7.619         8        -0.381
82        0.1429         1.000         5.857         7        -1.143
84        0.1429         2.400         14.400         16        -1.600
86        0.1429         1.000         6.143         5        1.143
88        0.1429         1.000         6.286         6        0.286
90        0.1429         2.667         17.143         18        -0.857
92        0.1429         1.000         6.571         6        0.571
94        0.1429         1.000         6.714         7        -0.286
96        0.1429         2.000         13.714         12        1.714
98        0.1429         1.200         8.400         8        0.400
100        0.1429         1.333         9.524         10        -0.476
102        0.1429         2.000         14.571         16        -1.429
104        0.1429         1.000         7.429         8        -0.571
106        0.1429         1.000         7.571         7        0.571
108        0.1429         2.000         15.429         14        1.429
110        0.1429         1.333         10.476         10        0.476
112        0.1429         1.200         9.600         10        -0.400
114        0.1429         2.000         16.286         18        -1.714
116        0.1429         1.000         8.286         8        0.286
118        0.1429         1.000         8.429         9        -0.571
120        0.1429         2.667         22.857         22        0.857

偶数        减含1奇数对        加含3素数对        加含5素数对        加含7素数对        校正后剩余        哥猜数R2        误差
50                2                        6.762         8        -1.238
52                        2                5.714         6        -0.286
54        2                        2        7.714         10        -2.286
56                2                        6.800         6        0.800
58                        2                6.143         7        -0.857
60        2                        2        11.429         12        -0.571
62        2        2                        4.429         5        -0.571
64                2        2                8.571         10        -1.429
66                        2        2        13.429         12        1.429
68        2                        2        4.857         4        0.857
70                2                        10.000         10        0.000
72        2                2                10.286         12        -1.714
74        2        2                2        7.286         9        -1.714
76                2        2                9.429         10        -0.571
78                        2        2        15.143         14        1.143
80        2                        2        7.619         8        -0.381
82                2                        7.857         9        -1.143
84        2                2                14.400         16        -1.600
86                2                2        10.143         9        1.143
88                        2                8.286         8        0.286
90        2                        2        17.143         18        -0.857
92                2                        8.571         8        0.571
94                        2                8.714         9        -0.286
96                                2        15.714         14        1.714
98        2                                6.400         6        0.400
100                2                        11.524         12        -0.476
102        2                2                14.571         16        -1.429
104        2        2                2        9.429         10        -0.571
106                2        2                11.571         11        0.571
108        2                2        2        17.429         16        1.429
110        2        2                2        12.476         12        0.476
112                2        2                13.600         14        -0.400
114        2                2        2        18.286         20        -1.714
116                2                2        12.286         12        0.286
118                        2                10.429         11        -0.571
120                                2        24.857         24        0.857

最大正误差1.714,最小负误差-2.286,当2m=70时无误差,因为70是7和5的倍数。
随着偶数2m的继续增大,需用筛分的素数更多更大,正负误差必将继续增大,增大无规律!
误差产生除与大多数偶数不是各个素数p的倍数有关外,另一个重要原因是:
当筛除第一个素因子时筛除量和剩余量都是与偶数2m成比例的,但继续筛除第2个,第3个素因子时,筛除量和筛余量不再与偶数2m成简单的比例关系了。
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 楼主| 发表于 2021-10-26 20:37 | 显示全部楼层
70是5和7的倍数,但不是3的倍数,为什么无误差?
单独用3筛分,存在误差0.667;单独用5筛分,无误差;单独用7筛分,也无误差;
用3和5筛分,存在误差1.333;用3和7筛分,存在误差2.0;用5和7筛分,无误差;
用3、5和7共同筛分,无误差,并不是相互抵消的关系,原因还是不明确:
偶数        筛子        ∏_1        ∏_2        计算剩余        实际剩余        误差
70        3        0.333         1.000         11.667         11        0.667
70        5        0.600         1.333         28.000         28        0.000
70        7        0.714         1.200         30.000         30        0.000
70        3+5        0.200         1.333         9.333         8        1.333
70        3+7        0.238         1.200         10.000         8        2.000
70        5+7        0.429         1.600         24.000         24        0.000
70        3+5+7        0.143         1.600         8.000         8        0.000
未再考虑减含1的奇数对和加含3,5或7的素数对。
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 楼主| 发表于 2021-10-26 20:46 | 显示全部楼层
下面取一个较大偶数19944试一试,19944用2筛,筛掉一半,仅剩奇数对;
19944是3的倍数,用3筛,只筛掉1/3,余6648对,不产生误差;
19944不是5的倍数,用5筛,筛掉2/5,剩余计算值3988.8,实剩余3990,误差(计算值-实际值)-1.2;
19944不是7的倍数,用7筛,筛掉2/7,剩余计算值2849.143,实剩余2850,误差(计算值-实际值)-0.857;
19944不是11的倍数,用11筛,筛掉2/11,剩余计算值2331.117,实剩余2330,误差(计算值-实际值)+1.117;
19944不是13的倍数,用13筛,筛掉2/13,剩余计算值1972.484,实剩余1972,误差(计算值-实际值)+0.484;
19944不是17的倍数,用17筛,筛掉2/17,剩余计算值1740.427,实剩余1744,误差(计算值-实际值)-3.573;
19944不是19的倍数,用19筛,筛掉2/19,剩余计算值1557.224,实剩余1766,误差(计算值-实际值)+1.244;
19944不是23的倍数,用23筛,筛掉2/23,剩余计算值1421.813,实剩余1428,误差(计算值-实际值)-6.187;
19944不是29的倍数,用29筛,筛掉2/29,剩余计算值1323.757,实剩余1320,误差(计算值-实际值)+3.757;
19944不是31的倍数,用31筛,筛掉2/31,剩余计算值1238.353,实剩余1226,误差(计算值-实际值)+12.353;
19944不是37的倍数,用37筛,筛掉2/37,剩余计算值1171.415,实剩余1154,误差(计算值-实际值)+17.415;
…………
筛子        计算筛余量        实际筛余量        误差        计删        实删
2        9972        9972        0        9972        9972
3        6648        6648        0        6648        6648
5        3988.8        3990        -1.2        2659.2        2658
7        2849.143         2850        -0.857         1139.657         1140
11        2331.117         2330        1.117         518.026         520
13        1972.484         1972        0.484         358.633         358
17        1740.427         1744        -3.573         232.057         228
19        1557.224         1566        -8.776         183.203         178
23        1421.813         1428        -6.187         135.411         138
29        1323.757         1320        3.757         98.056         108
31        1238.353         1226        12.353         85.404         94
37        1171.415         1154        17.415         66.938         72
41        1114.273         ——        ——
43        1062.446         ——        ——
47        1017.236         ——        ——
53        978.850         ——        ——
59        945.668         ——        ——
61        914.663         ——        ——
67        887.359         ——        ——
71        862.363         ——        ——
73        838.737         ——        ——
79        817.503         ——        ——
83        797.804         ——        ——
89        779.876         ——        ——
97        763.796         ——        ——
101        748.672         ——        ——
103        734.134         ——        ——
107        720.412         ——        ——
109        707.193         ——        ——
113        694.677         ——        ——
127        683.737         ——        ——
131        673.298         ——        ——
137        663.469         ——        ——
139        653.923         678        -24.077
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发表于 2021-10-26 23:58 | 显示全部楼层
谈谈连乘积哥猜公式误差

可以使用连乘积的公式来计算偶数M的素数对的数量。
任意一个偶数2A,拆分为两个整数的形式,都可以表示成(A-x)+(A+x)  ,判断偶数M所分成的A-x与A+x两个数是否都是素数,依据艾拉托尼筛法,可有如下2个情况:
条件a :A-x与A+x 两个数同时不能够被≤r的所有素数整除时,两个数都是素数; [r为≤√(M-2)的最大素数, 下同。]
条件b:A+x不能够被≤r的所有素数整除,而A-x等于其中某个素数,两个数都是素数;
若把x值的取值范围[0,A-3]里面符合条件a的x值的个数记为S1(m),符合条件b的x值的个数记为S2(m),由上述的两个条件,即可得到偶数M分成两个素数的全部分法数量 S(m),有
S(m)=S1(m)+S2(m) .---------(式1)



对于把偶数M分成的两个素数A-x与A+x的条件a,可看成变量x符合某种由偶数半值A所限定条件的数,其在自然数区间[0,A-3] 中的分布规律,可归纳为一个概率问题:
除以素数2,3,…,n,…,r时余数同时满足不等于j2、j3及(3-j3)、…、jn及(n-jn)、…、jr及(r -jr)的数的发生概率问题,这里的j2,j3,…,jn,…,jr系A除以素数2,3,…,n,…,r时的余数。
我们知道,对于一个自然数区域里面的数,
分别除以2、3以及其它素数5,…,r 时得到的余数都是以该被除素数的值为周期循环变化,而偶数数列、奇数数列除以2以外的其它素数3,5,…,r 时得到的余数仍然是以该被除的素数值为周期循环变化。这反映了自然数除以不同素数得到的余数具有互相独立的特性。
由于符合条件a的x值,就是除以素数2,3,…,r时余数同时满足不等于j2、j3及(3-j3)、j5及(5-j5)、…、jr及(r -jr)的数。
显然在x取值的自然数区间中,
除以2时,余数满足不等于j2 的数的发生概率为1/2;
除以3时,余数满足不等于j3 及(3-j3 )的数的发生概率为(3-2)/3,(j3≠0时);或发生概率为(3-1)/3,(j3=0时);
除以5时,余数满足不等于j5 及(5-j5 )的数的发生概率为(5-2)/5,(j5≠0时);或发生概率为(5-1)/5,(j=0时);

除以n时,余数满足不等于jn 及(n-jn)的数的发生概率为(n-2)/n,(jn≠0时);或发生概率为(n-1)/n,(jn=0时);

除以r时,余数满足不等于jr 及(r-jr)的数的发生概率为(r-2)/r,(jr≠0时);或发生概率为(r-1)/r,(jr=0时);
因此依据概率的独立事件的乘法原理,符合条件a:
除以素数2,3,…,n,…,r时余数同时满足不等于j2、j3及(3-j3)、j5及(5-j5)、…、jr及(r -jr)的x值的分布概率P(m) 有
P(m)=P(2·3·…·n·…*r)
=P(2)P(3)…P(n)…P(r) . -----------{式2}
故在[0,A-3] 中的这个自然数区域中使偶数M分成两个符合条件a的素数的x值数量的概率计算值Sp(m),有:
Sp(m)=(A-2)P(m)
= (A-2) P(2·3·…·n·…·r)
=(A-2)*P(2)P(3)…P(n)…P(r)
=(A-2)*(1/2)*f(3)*…*f(n)*…*f(r). -----------{式3}
式中:3≤ n≤r;n是素数。f(n)=(n-1)/n, [jn=0时];或f(n)=(n-2)/n, [jn>0时] 。jn系A除以n时的余数。

对于{式3}的计算式,注意到A含有奇素因子时的f(n)的不同取值,可以变形成另外的一种形式:
        Sp(m)= (A-2)/2*π[(n-2)/n]*π[(k-1)/(k-2)]         {式4}
        式4中:
            3≤ n≤r;n是素数;
        k是偶数半值A所含的<√(M-2)的奇素数因子.
          K(m)= π[(k-1)/(k-2)],
   K(m)可称为偶数M的素因子系数,也可以称为偶数M的表为两个素数和的表法数波动系数。
   在式4中:
        1/2*π[(n-2)/n] 实际上为偶数表为两个素数之和的最低概率p(m)min;
        而(A-2)*p(m)min 就是偶数表为两个素数和的x值数量的区域低位值的表达式。

实际偶数的素对数的计算可以表明,这种概率计算的方法不仅计算方法简单,比拉曼纽扬系数C(N)的计算容易,而且概率计算值与实际真值的相对误差也比哈代公式小得多。

因此从理论上讲,素数连乘式是计算符合条件a的素数对数量的,在小偶数的范围连乘式的计算值也比较贴近实际的符合条件a的素数对数量的真值。
200内偶数的计算实例:
Sp(m):素数连乘式四舍五入后取整。
s1(m)——即是不含小于√M的素数的素对数量。
δ1(m)—— 即为Sp(m)对s1(m)的相对误差。
δ(m)—— 即为Sp(m)对全部素对S(m)的相对误差。

M= 6          ,S(m)= 1      ( s1= 1 ,s2= 0 ),   Sp(m)≈ 1      ,δ(m)≈ 0      ,δ1(m)≈ 0
M= 8          ,S(m)= 1      ( s1= 1 ,s2= 0 ),   Sp(m)≈ 1      ,δ(m)≈ 0      ,δ1(m)≈ 0
M= 10         ,S(m)= 2      ( s1= 2 ,s2= 0 ),   Sp(m)≈ 1      ,δ(m)≈-.5     ,δ1(m)≈-.5
M= 12         ,S(m)= 1      ( s1= 1 ,s2= 0 ),   Sp(m)≈ 1      ,δ(m)≈ 0      ,δ1(m)≈ 0
M= 14         ,S(m)= 2      ( s1= 1 ,s2= 1 ),   Sp(m)≈ 1      ,δ(m)≈-.5     ,δ1(m)≈ 0
M= 16         ,S(m)= 2      ( s1= 1 ,s2= 1 ),   Sp(m)≈ 1      ,δ(m)≈-.5     ,δ1(m)≈ 0
M= 18         ,S(m)= 2      ( s1= 2 ,s2= 0 ),   Sp(m)≈ 3      ,δ(m)≈ .5     ,δ1(m)≈ .5
M= 20         ,S(m)= 2      ( s1= 1 ,s2= 1 ),   Sp(m)≈ 1      ,δ(m)≈-.5     ,δ1(m)≈ 0
M= 22         ,S(m)= 3      ( s1= 2 ,s2= 1 ),   Sp(m)≈ 2      ,δ(m)≈-.333   ,δ1(m)≈ 0
M= 24         ,S(m)= 3      ( s1= 3 ,s2= 0 ),   Sp(m)≈ 3      ,δ(m)≈ 0      ,δ1(m)≈ 0
M= 26         ,S(m)= 3      ( s1= 2 ,s2= 1 ),   Sp(m)≈ 1      ,δ(m)≈-.667   ,δ1(m)≈-.5
M= 28         ,S(m)= 2      ( s1= 1 ,s2= 1 ),   Sp(m)≈ 1      ,δ(m)≈-.5     ,δ1(m)≈ 0
M= 30         ,S(m)= 3      ( s1= 3 ,s2= 0 ),   Sp(m)≈ 4      ,δ(m)≈ .333   ,δ1(m)≈ .333
M= 32         ,S(m)= 2      ( s1= 1 ,s2= 1 ),   Sp(m)≈ 1      ,δ(m)≈-.5     ,δ1(m)≈ 0
M= 34         ,S(m)= 4      ( s1= 2 ,s2= 2 ),   Sp(m)≈ 2      ,δ(m)≈-.5     ,δ1(m)≈ 0
M= 36         ,S(m)= 4      ( s1= 3 ,s2= 1 ),   Sp(m)≈ 3      ,δ(m)≈-.25    ,δ1(m)≈ 0
M= 38         ,S(m)= 2      ( s1= 2 ,s2= 0 ),   Sp(m)≈ 2      ,δ(m)≈ 0      ,δ1(m)≈ 0
M= 40         ,S(m)= 3      ( s1= 2 ,s2= 1 ),   Sp(m)≈ 2      ,δ(m)≈-.333   ,δ1(m)≈ 0
M= 42         ,S(m)= 4      ( s1= 3 ,s2= 1 ),   Sp(m)≈ 4      ,δ(m)≈ 0      ,δ1(m)≈ .333
M= 44         ,S(m)= 3      ( s1= 2 ,s2= 1 ),   Sp(m)≈ 2      ,δ(m)≈-.333   ,δ1(m)≈ 0
M= 46         ,S(m)= 4      ( s1= 2 ,s2= 2 ),   Sp(m)≈ 2      ,δ(m)≈-.5     ,δ1(m)≈ 0
M= 48         ,S(m)= 5      ( s1= 4 ,s2= 1 ),   Sp(m)≈ 4      ,δ(m)≈-.2     ,δ1(m)≈ 0
M= 50         ,S(m)= 4      ( s1= 3 ,s2= 1 ),   Sp(m)≈ 2      ,δ(m)≈-.5     ,δ1(m)≈-.333
M= 52         ,S(m)= 3      ( s1= 2 ,s2= 1 ),   Sp(m)≈ 2      ,δ(m)≈-.333   ,δ1(m)≈ 0
M= 54         ,S(m)= 5      ( s1= 4 ,s2= 1 ),   Sp(m)≈ 4      ,δ(m)≈-.2     ,δ1(m)≈ 0
M= 56         ,S(m)= 3      ( s1= 2 ,s2= 1 ),   Sp(m)≈ 2      ,δ(m)≈-.333   ,δ1(m)≈ 0
M= 58         ,S(m)= 4      ( s1= 3 ,s2= 1 ),   Sp(m)≈ 2      ,δ(m)≈-.5     ,δ1(m)≈-.333
M= 60         ,S(m)= 6      ( s1= 5 ,s2= 1 ),   Sp(m)≈ 5      ,δ(m)≈-.167   ,δ1(m)≈ 0
M= 62         ,S(m)= 3      ( s1= 2 ,s2= 1 ),   Sp(m)≈ 2      ,δ(m)≈-.333   ,δ1(m)≈ 0
M= 64         ,S(m)= 5      ( s1= 3 ,s2= 2 ),   Sp(m)≈ 2      ,δ(m)≈-.6     ,δ1(m)≈-.333
M= 66         ,S(m)= 6      ( s1= 4 ,s2= 2 ),   Sp(m)≈ 5      ,δ(m)≈-.167   ,δ1(m)≈ .25
M= 68         ,S(m)= 2      ( s1= 1 ,s2= 1 ),   Sp(m)≈ 2      ,δ(m)≈ 0      ,δ1(m)≈ 1
M= 70         ,S(m)= 5      ( s1= 4 ,s2= 1 ),   Sp(m)≈ 4      ,δ(m)≈-.2     ,δ1(m)≈ 0
M= 72         ,S(m)= 6      ( s1= 5 ,s2= 1 ),   Sp(m)≈ 5      ,δ(m)≈-.167   ,δ1(m)≈ 0
M= 74         ,S(m)= 5      ( s1= 3 ,s2= 2 ),   Sp(m)≈ 3      ,δ(m)≈-.4     ,δ1(m)≈ 0
M= 76         ,S(m)= 5      ( s1= 3 ,s2= 2 ),   Sp(m)≈ 3      ,δ(m)≈-.4     ,δ1(m)≈ 0
M= 78         ,S(m)= 7      ( s1= 5 ,s2= 2 ),   Sp(m)≈ 5      ,δ(m)≈-.286   ,δ1(m)≈ 0
M= 80         ,S(m)= 4      ( s1= 3 ,s2= 1 ),   Sp(m)≈ 4      ,δ(m)≈ 0      ,δ1(m)≈ .333
M= 82         ,S(m)= 5      ( s1= 4 ,s2= 1 ),   Sp(m)≈ 3      ,δ(m)≈-.4     ,δ1(m)≈-.25
M= 84         ,S(m)= 8      ( s1= 7 ,s2= 1 ),   Sp(m)≈ 7      ,δ(m)≈-.125   ,δ1(m)≈ 0
M= 86         ,S(m)= 5      ( s1= 3 ,s2= 2 ),   Sp(m)≈ 3      ,δ(m)≈-.4     ,δ1(m)≈ 0
M= 88         ,S(m)= 4      ( s1= 3 ,s2= 1 ),   Sp(m)≈ 3      ,δ(m)≈-.25    ,δ1(m)≈ 0
M= 90         ,S(m)= 9      ( s1= 8 ,s2= 1 ),   Sp(m)≈ 8      ,δ(m)≈-.111   ,δ1(m)≈ 0
M= 92         ,S(m)= 4      ( s1= 3 ,s2= 1 ),   Sp(m)≈ 3      ,δ(m)≈-.25    ,δ1(m)≈ 0
M= 94         ,S(m)= 5      ( s1= 4 ,s2= 1 ),   Sp(m)≈ 3      ,δ(m)≈-.4     ,δ1(m)≈-.25
M= 96         ,S(m)= 7      ( s1= 6 ,s2= 1 ),   Sp(m)≈ 7      ,δ(m)≈ 0      ,δ1(m)≈ .167
M= 98         ,S(m)= 3      ( s1= 3 ,s2= 0 ),   Sp(m)≈ 4      ,δ(m)≈ .333   ,δ1(m)≈ .333
M= 100        ,S(m)= 6      ( s1= 5 ,s2= 1 ),   Sp(m)≈ 5      ,δ(m)≈-.167   ,δ1(m)≈ 0
M= 102        ,S(m)= 8      ( s1= 7 ,s2= 1 ),   Sp(m)≈ 7      ,δ(m)≈-.125   ,δ1(m)≈ 0
M= 104        ,S(m)= 5      ( s1= 3 ,s2= 2 ),   Sp(m)≈ 4      ,δ(m)≈-.2     ,δ1(m)≈ .333
M= 106        ,S(m)= 6      ( s1= 4 ,s2= 2 ),   Sp(m)≈ 4      ,δ(m)≈-.333   ,δ1(m)≈ 0
M= 108        ,S(m)= 8      ( s1= 6 ,s2= 2 ),   Sp(m)≈ 7      ,δ(m)≈-.125   ,δ1(m)≈ .167
M= 110        ,S(m)= 6      ( s1= 4 ,s2= 2 ),   Sp(m)≈ 5      ,δ(m)≈-.167   ,δ1(m)≈ .25
M= 112        ,S(m)= 7      ( s1= 5 ,s2= 2 ),   Sp(m)≈ 5      ,δ(m)≈-.286   ,δ1(m)≈ 0
M= 114        ,S(m)= 10     ( s1= 8 ,s2= 2 ),   Sp(m)≈ 8      ,δ(m)≈-.2     ,δ1(m)≈ 0
M= 116        ,S(m)= 6      ( s1= 4 ,s2= 2 ),   Sp(m)≈ 4      ,δ(m)≈-.333   ,δ1(m)≈ 0
M= 118        ,S(m)= 6      ( s1= 5 ,s2= 1 ),   Sp(m)≈ 4      ,δ(m)≈-.333   ,δ1(m)≈-.2
M= 120        ,S(m)= 12     ( s1= 11 ,s2= 1 ),  Sp(m)≈ 11     ,δ(m)≈-.083   ,δ1(m)≈ 0
M= 122        ,S(m)= 4      ( s1= 4 ,s2= 0 ),   Sp(m)≈ 4      ,δ(m)≈ 0      ,δ1(m)≈ 0
M= 124        ,S(m)= 5      ( s1= 4 ,s2= 1 ),   Sp(m)≈ 4      ,δ(m)≈-.2     ,δ1(m)≈ 0
M= 126        ,S(m)= 10     ( s1= 10 ,s2= 0 ),  Sp(m)≈ 9      ,δ(m)≈-.1     ,δ1(m)≈-.1
M= 128        ,S(m)= 3      ( s1= 3 ,s2= 0 ),   Sp(m)≈ 4      ,δ(m)≈ .333   ,δ1(m)≈ .333
M= 130        ,S(m)= 7      ( s1= 6 ,s2= 1 ),   Sp(m)≈ 5      ,δ(m)≈-.286   ,δ1(m)≈-.167
M= 132        ,S(m)= 9      ( s1= 8 ,s2= 1 ),   Sp(m)≈ 8      ,δ(m)≈-.111   ,δ1(m)≈ 0
M= 134        ,S(m)= 6      ( s1= 4 ,s2= 2 ),   Sp(m)≈ 4      ,δ(m)≈-.333   ,δ1(m)≈ 0
M= 136        ,S(m)= 5      ( s1= 4 ,s2= 1 ),   Sp(m)≈ 4      ,δ(m)≈-.2     ,δ1(m)≈ 0
M= 138        ,S(m)= 8      ( s1= 6 ,s2= 2 ),   Sp(m)≈ 8      ,δ(m)≈ 0      ,δ1(m)≈ .333
M= 140        ,S(m)= 7      ( s1= 6 ,s2= 1 ),   Sp(m)≈ 6      ,δ(m)≈-.143   ,δ1(m)≈ 0
M= 142        ,S(m)= 8      ( s1= 5 ,s2= 3 ),   Sp(m)≈ 4      ,δ(m)≈-.5     ,δ1(m)≈-.2
M= 144        ,S(m)= 11     ( s1= 9 ,s2= 2 ),   Sp(m)≈ 8      ,δ(m)≈-.273   ,δ1(m)≈-.111
M= 146        ,S(m)= 6      ( s1= 5 ,s2= 1 ),   Sp(m)≈ 4      ,δ(m)≈-.333   ,δ1(m)≈-.2
M= 148        ,S(m)= 5      ( s1= 4 ,s2= 1 ),   Sp(m)≈ 4      ,δ(m)≈-.2     ,δ1(m)≈ 0
M= 150        ,S(m)= 12     ( s1= 11 ,s2= 1 ),  Sp(m)≈ 12     ,δ(m)≈ 0      ,δ1(m)≈ .091
M= 152        ,S(m)= 4      ( s1= 3 ,s2= 1 ),   Sp(m)≈ 4      ,δ(m)≈ 0      ,δ1(m)≈ .333
M= 154        ,S(m)= 8      ( s1= 6 ,s2= 2 ),   Sp(m)≈ 6      ,δ(m)≈-.25    ,δ1(m)≈ 0
M= 156        ,S(m)= 11     ( s1= 9 ,s2= 2 ),   Sp(m)≈ 9      ,δ(m)≈-.182   ,δ1(m)≈ 0
M= 158        ,S(m)= 5      ( s1= 4 ,s2= 1 ),   Sp(m)≈ 5      ,δ(m)≈ 0      ,δ1(m)≈ .25
M= 160        ,S(m)= 8      ( s1= 6 ,s2= 2 ),   Sp(m)≈ 6      ,δ(m)≈-.25    ,δ1(m)≈ 0
M= 162        ,S(m)= 10     ( s1= 8 ,s2= 2 ),   Sp(m)≈ 9      ,δ(m)≈-.1     ,δ1(m)≈ .125
M= 164        ,S(m)= 5      ( s1= 4 ,s2= 1 ),   Sp(m)≈ 5      ,δ(m)≈ 0      ,δ1(m)≈ .25
M= 166        ,S(m)= 6      ( s1= 5 ,s2= 1 ),   Sp(m)≈ 5      ,δ(m)≈-.167   ,δ1(m)≈ 0
M= 168        ,S(m)= 13     ( s1= 11 ,s2= 2 ),  Sp(m)≈ 12     ,δ(m)≈-.077   ,δ1(m)≈ .091
M= 170        ,S(m)= 9      ( s1= 7 ,s2= 2 ),   Sp(m)≈ 6      ,δ(m)≈-.333   ,δ1(m)≈-.143
M= 172        ,S(m)= 6      ( s1= 5 ,s2= 1 ),   Sp(m)≈ 4      ,δ(m)≈-.333   ,δ1(m)≈-.2
M= 174        ,S(m)= 11     ( s1= 9 ,s2= 2 ),   Sp(m)≈ 9      ,δ(m)≈-.182   ,δ1(m)≈ 0
M= 176        ,S(m)= 7      ( s1= 5 ,s2= 2 ),   Sp(m)≈ 5      ,δ(m)≈-.286   ,δ1(m)≈ 0
M= 178        ,S(m)= 7      ( s1= 5 ,s2= 2 ),   Sp(m)≈ 4      ,δ(m)≈-.429   ,δ1(m)≈-.2
M= 180        ,S(m)= 14     ( s1= 12 ,s2= 2 ),  Sp(m)≈ 12     ,δ(m)≈-.143   ,δ1(m)≈ 0
M= 182        ,S(m)= 6      ( s1= 5 ,s2= 1 ),   Sp(m)≈ 6      ,δ(m)≈ 0      ,δ1(m)≈ .2
M= 184        ,S(m)= 8      ( s1= 5 ,s2= 3 ),   Sp(m)≈ 4      ,δ(m)≈-.5     ,δ1(m)≈-.2
M= 186        ,S(m)= 13     ( s1= 10 ,s2= 3 ),  Sp(m)≈ 9      ,δ(m)≈-.308   ,δ1(m)≈-.1
M= 188        ,S(m)= 5      ( s1= 4 ,s2= 1 ),   Sp(m)≈ 5      ,δ(m)≈ 0      ,δ1(m)≈ .25
M= 190        ,S(m)= 8      ( s1= 7 ,s2= 1 ),   Sp(m)≈ 6      ,δ(m)≈-.25    ,δ1(m)≈-.143
M= 192        ,S(m)= 11     ( s1= 9 ,s2= 2 ),   Sp(m)≈ 9      ,δ(m)≈-.182   ,δ1(m)≈ 0
M= 194        ,S(m)= 7      ( s1= 5 ,s2= 2 ),   Sp(m)≈ 5      ,δ(m)≈-.286   ,δ1(m)≈ 0
M= 196        ,S(m)= 9      ( s1= 7 ,s2= 2 ),   Sp(m)≈ 6      ,δ(m)≈-.333   ,δ1(m)≈-.143
M= 198        ,S(m)= 13     ( s1= 11 ,s2= 2 ),  Sp(m)≈ 11     ,δ(m)≈-.154   ,δ1(m)≈ 0
M= 200        ,S(m)= 8      ( s1= 6 ,s2= 2 ),   Sp(m)≈ 6      ,δ(m)≈-.25    ,δ1(m)≈ 0

如果把连续偶数的素对数据Sp(m)、S1(m)的值点在坐标图上连接起来,可以看到两条折线图形是很接近的,波动的规律也相似:

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点评

这方面,愚工688是专家。一语道破天机。  发表于 2021-10-27 05:01
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发表于 2021-10-27 00:01 | 显示全部楼层
更多的相对误差的规律性的东西,以后再谈。
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发表于 2021-10-27 06:09 | 显示全部楼层
好友注意,一定避开概率,

点评

你不懂概率,就不要乱评价。你说的比例,实际上能够成比例吗?连乘积存在的误差能够用比例来解释吗?  发表于 2021-10-27 08:22
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