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本帖最后由 hxl268 于 2021-11-3 18:28 编辑
中学数学几百年重大错误：将无穷多假N、R误为N、R
黄小宁（通讯：广州市华南师大南区9-303 510631）
[摘要]指出初等几何应有最最起码常识：元点不少于两个的图A≌A，正如图A=A是几何最最起码常识一样。此常识及中学的数集最起码常识凸显初等几何2300年“起码常识”:“有无穷多个公共点的直线必重合”使“已成熟到不能再成熟”的初等数学有将无穷多各异假R轴误为R轴的几百年错误，症结是中学数学一直将用而不知的R外数误为R内数。逻辑学起码常识让5000年都无人能识的N外标准自然数一下子浮出水面推翻百年集论，不识这类“更无理”自然数使初等数学一直将无穷多各异假N误为N。指出点集的组成成员与点集的元有根本区别，提出一种判断两点集是否重合的全新方法：“组成成员不同的点集不是同一集”从而让2300初等几何一直未能识的伪二重直线段一下子暴露出来凸显初数有将两异直线段误为同一线段的几百年错误(注：直线段是最简单、基本的图形)。
[关键词]N最大元；N外标准自然数；似是而非的假N（R）；长度不同的射线；伪二重直线（段）；将R外数误为R内数从而搞错一次函数的值域；可成及不可成为数对集的数集
著名科学家周光召精辟指出：“中国目前最需要的是颠覆性创新。”（南方周末报，2007.12.6，A8）教（学）而不思是师生的大敌。人类认识自然数已有5000多年“从而关于自然数的数学理论已成熟到不能再成熟”，初等数学中关于自然数和一次函数的理论是初数中的初数,中学生就应对自然数及由其组成的数列（集）有全面、正确的认识。5000多年来数学一直未能证明存在>N一切数的标准无穷大自然数及其倒数，从而一直否定存在这类数，正如西医否定人体存在经络系统那样。有过人科学洞察力的伟大科学家莱布尼茨在其科学实践中深深体会到:“虽然人们经常使用的只是通常的数，并没有引进任何无限小或分母无限大的数，但它们却是同时存在的[1]”。本文证明存在N内、外标准无穷大自然数，存在R内、外标准无穷大、小实数，初等数学一直用而不知地使用这类数；不识这类“更无理”数使初数有违反中学的数集最起码常识的错误而将无穷多各异假N、R误为N、R，将无穷多各异射线误为同一线。
1.图说中学“定义域为R的f(x)=x+c的值域=R”是违反数集最起码常识的几百年错误
两图是否重合是否≌不能凭肉眼直观而须严格证明。图形由元点组成，只有追根究底地说到“点子”上才能对图形从感性认识跃升到理性认识；有了解析几何就能从数、数量关系的高度上来精确地认识各元点的位置，从而发现初等几何有史2300多年来一直认定的“有无穷多个公共点的直线必重合，起点相同且有无穷多个公共点的射线必重合。”其实是被“实无穷”中的假象迷惑的肉眼直观错觉。设集A=｛x｝表A各元均由x代表，相应变量x的变域是A；集J=｛x、y｝=｛x｝∪｛y｝=U∪V表J各元均由x或y代表，相应变量x（y）的变域是U（V）。其余类推。同一字母x可代表各不同的数，同样，为简便起见本文中同一字母（例A）在此场合代表某集，在彼场合可代表另一集。其余类推。“实数集”R所有非负元x≥0组成R+。R⊃“自然数集”N各元x均有对应标准实数x+1、2x、xn（n≥2）等等。与x∈R相异（等）的实数均可表为y=x+δ（增量δ可=0也可≠0），因各数可是数轴上点的坐标故x∈R变换为实数y=x+δ的几何意义可是：一维空间“管道”g内R轴上的质点x∈R(x是点的坐标)运动到新的位置y=x+δ还在管道g内即实数的改变可形象化为g内质点的位置的改变。
运动坐标系的坐标轴是可沿轴平移的。b0=0.0001≈0,R各元x保距变为y=x+b0组成元为y的｛y｝（y的值域）的几何意义是R轴各元点x沿管道g保距平移变为点x+δ=y=x+b0形成元为点y的y=x+b0轴即R轴沿轴正向平移变为y=x+b0轴叠压在x轴即R轴上。其余类推。中学数学认定y轴=x轴（自有函数概念几百年来数学一直认定：R各元x的对应数x+b0的全体是R），因有初中的直线公理；这是科普书和中学师生们不屑一顾的“最不成问题”的一次函数及几何的“常识”。 其实这是肉眼直观错觉，是违反数集最起码常识的几百年错误。
数集最起码常识：若数集A（B）各元x（y）有与之对应相等的元y（x）∈B（A）即A各元与B各元可一一对应相等：x↔y=x（恒等对应、变换）则称A=B；若可一一对应相等或近似相等则A≈B（例｛0，2，4｝≈｛0，2.001，4｝）。中学生应知：A各元x变为y=x得元为y的{y=x}=A称为A恒等变换地变回自己。本文最关键的论据之一：若A与B是同一集则A必能（不是“只能”）恒等变换地变为B=A，即必可有x↔y=x。
｛1，2｝≈｛1.001，2.001｝是因两集的元一一对应近似相等。同样上述x轴各元x与y=x+b0轴各元y=x+b0≈x一一对应近似相等：x↔y=x+b0≈x使y轴≈x轴。各x变为y=x（y≈x）是恒等（近似恒等）变换，x轴近似恒等变换地变为y=x+b0（≈x）轴≠x轴。显然R各元x只可与各对应数x+b0中的x一一对应相等而与各x+b0≈x本身一一对应近似相等。可见数集相等及近似相等概念表明x轴沿轴平移变为y=x+b（b是正常数）轴≠x轴，当平移的距离≈0时y轴≈x轴。
注：y=x+b0轴与x轴有无穷多个公共点，直线段η=[0，1]⊂x轴（且⊂y=x+b0轴）各元x与[0，1]⊂y=x+b0轴各元y=x+b0可一一对应相等：x=j↔y=x+b0=j（恒等对应）；但要注意↔两边的x是不相等的，此x=j，彼x=j-b0，j的变域是η。在J各元x↔x+常数c中若没规定↔及等号两边的x一定相等则当且仅当x+c=x=e(e的变域是J)时才是恒等变换。x=1=-x中等号两边的x互为相反数。A=R各元x变号为-x组成的｛-x｝=B=R各元-x与A=R各元x可一一对应相等：x↔-x=x，但要注意等号两边的x互为相反数；恒等变换可使元为x的A=R变为元为-x的B=R。注：各x=j变为x+b0=j是恒等变换，而各x变为x+b0>x就不是恒等变换。恒等变换不能使各元为x的R变为各元为x+b0>x的集。
x=x，点（x，y）与点（x，y′≈y）近似重合。直线y=x（y∈R）各元点p（x，y=x）变为点p′（x，y′=x+c）（各x 不变只是各y变为y′=x+常数c ）得直线y′=x+c，即：（纵坐标）y=x↔y′=x+c （↔两边的x是同一x）是平移变换：直线y=x平移变为直线y′=x+c。显然当且仅当c=0时才是恒等变换，c≈0时是≈恒等变换。直线y′与y两线各点的纵坐标y（x）与y′（x）若一一对应相等（近似相等）则两线各横坐标相等的元点p与p′ 必一一对应重合（近似重合）使两线重合（近似重合）。所以两线不重合就形象地说明R各元x与各对应x+c（c≠0）不可一一对应相等（即形象说明x轴沿本身平移变为y=x+c（c≠0）轴≠x轴）。其实“对R一个不漏的每一（一切）元x都有对应x+1>x”明确表示有对应数x+1>R一切元x而不可与R任何元x对应相等；详论见第5节。
图：○→○表示圆盘A平移变为新圆盘B≌A，显然B必有元点在A外使B≠A。在平移变换中当且仅当平移的距离ρ=0时才是恒等变换，ρ≈0时是近似恒等变换。故应有：
h几何起码常识1:至少有两个元点的图A平移非0距离变为B（≌A）必≠A（因A不可恒等变换地变为B）。
据h几何常识1R轴即x轴沿本身平移变为y=x+c（常数c≠0）轴≠x轴（即y轴是假x轴），可变为无穷多各异数轴相互叠压在一起形成平行直线丛；而直线公理使中学几百年解析几何一直只识其中的一条直线且将无穷多各异数轴误为同一轴：R轴。
数学图形可是离散的点的点集。工程图有虚线，可将“整数点集”Ю=｛x=±n｝(各n∈N是点的坐标）看成是⊂R轴的“虚线”:.......，“无界”的虚线Ю=｛x=±n｝⊂R轴各点x=±n保距平移变为点±n+0.5组成D=｛±n+0.5｝≠Ю即Ю沿R轴正向平移距离0.5≠0变成虚线D（≌Ю）≠Ю；恒等变换不能使各元为±n的Ю变为各元为±n+0.5的D说明D≠Ю。
A=Ю=｛...，-2，-1,0,1，2，...｝⊂x轴各点x沿轴正向保距平移非0距离变为点x+δ=x+1形成B=｛...，-3，-2，-1,0,1，2，3，...｝≌Ю，据h几何常识1中学几百年“A=B”是肉眼直观错觉而将两异集误为同一集。
2.图A≌A凸显初中的直线公理使初数将无穷多各异直（射）线误为同一线——数形结合须跃出根本误区
设本文所说集合往往是元不少于两个的集，“区间”是直线段（开或闭等）⊂相应数轴所有元点的坐标组成的集。定义：若数集A可保距变为B则称A≌B。显然A≌A。
“无界”的曲、直线y=x3、 y=x互不≌从而更不相等。“无界”的Ю⊂R轴各点x=±n沿R轴正或负向保序不保距平移变为点x+δ=x/2=±n/2形成“无界”的虚线д=｛±n/2｝⊂相应数轴（这是以原点为收缩中心的收缩变换），д不≌Ю从而更≠Ю。显然恒等变换不能使各元为±n的Ю变为各元为±n/2的д。中学的“图A≌A”说明A变为B=A≌A不一定是恒等变换但一定是保距变换。
h定理1：数（点）集A=B≌B的必要条件是A≌B（初等几何应有最最起码常识：元点不少于两个的图B≌B）。
证：若A=B则A必可恒等变换（一种保距变换）地变为B=A≌A。注：若点集B=A≌A则B与A大小与形状都相同即B≌A。集随元的变化而变化。设xn表示数集J的第n号元（或n号位上的元），J=｛x1=1，x2=2，x3=3｝要变回自己，其各元就不可变为J外数从而使x1=1若不变回自己就只能变为2或3∈J；x1=1变为x1=2得B=｛x1=2，x2=2，x3=3｝≠J，B中x2=2变为x2=1就使B恢复为J=｛x1=2，x2=1，x3=3｝，...。可见J中两数之间互换位置的换位变化不能使J变为≠J，但J中有数变为别的数∈J就有可能使J变为≠J。所以A变为B=A≌A的变换只能有两种：⑴恒等变换；⑵A（A中各数互异）中：有的数变回自己有的数与别的数相互对调位置，或各数都与别的数对调位置，才能使A变回自己。⑴⑵都是保距变换。证毕。
x轴的射线R+:x≥0不保距地伸缩变换为不≌R+的射线y(x)=xk≥0（正常数k≠1）、ψ(x)=kx≥0、...，据h定理1各互不≌的射线互不相等。所以初数的“R+各元x≥0的对应数kx≥0的全体是R+”等等“函数及几何常识”，其实是肉眼直观错觉而将无穷多各异射线误为同一线将各异假R+误为R+。据h定理1x轴（空间直线）不保距地伸缩变换为y=y(x)轴（不≌x轴）≠x轴,可变为无穷多各异直线相互叠压在一起形成平行直线丛；初数只识其中的一条直线且将无穷多各异数轴误为同一轴。直（射）线是最简单的几何图形，自有初等几何学后的2300里一直无人能知存在伪二重及伪≌直（射）线。
据h定理1复平面z=x+iy均匀收缩成平面0.5z=0.5x+i0.5y=u+iv（从而使z面的x轴被收缩成u=0.5x轴）不≌平面z从而更≠平面z；同样z面≠2z面；......。
设各点只能作位置改变而不能作别的改变即变位前、后的点是同一点，正如图A平移变为B≌A，平移前、后的图是同一图（两图只有位置差别而没别的差别）一样。注：集的组成成员与集的元素是有根本区别的，例{4,4}由两个4组成而有两个组成成员但其元却只有一个。将一碗油A（油分子的集合）倒入杯子内变为一杯油B，A与B形状不同（从而A≠B）但组成成员相同。有了各油分子还须有规定各分子如何排列聚集的法则才能使各分子聚集成各不同图形；不改变组成成员只改变聚集的法则就能使A变为无穷多各异油分子集。不在同一位置的两质点形成的点集作保（变）距运动可形成无穷多各异点集均由这两质点组成。所以如[2]所述，质点的坐标与质点本身有根本区别从而使质点集有数（数组）集所没有的独特性质：两异点集的组成成员（构造材料）可完全相同，正如两异数列的组成成员可完全相同一样（数列N中有数与别的数互换位置等等就形成≠N的数列还由N一切数组成）。数形结合须跃出根本误区。
由3个点组成的点集A={…}⊂R轴各点的坐标x组成的集是｛0，0.5，1｝，A中两端点不动或相互对调位置，中点往左偏移但保持在两端点之间就使A变形为没中点的B不≌A；点还是这些点∈A，但其不保距地改变位置后形成的新点集与A有不同的“长相”。例A⊂R轴各点x改变位置变为点x+δ=x2得元为点x2的点集B=｛0，0.52，1｝与A 是组成成员（构造材料）相同（不是元相同）的点集。点集A有两个点重合成一个点等价于A失去一个组成成员变为由2个点组成的A的真子集。可见A的真子集V与A是组成成员不相同的点集，V⊂A只包含A部分组成成员；去掉部分组成成员的减员变换使减员前、后的点集是组成成员不相同的点集。追根究底地深入到“点”这一层次上来说图A变为B～A是因A各组成成员保距或不保距地移动到新位置形成新点集B≌A或不≌A。若A各点p进入新位置变为点p′形成新点集B～A则显然是不改变组成成员的变换，因这是不减、增员只改变各成员空间位置的变换。应有：
h几何起码常识2:组成成员（构造材料）不同的点集不是同一集。
x轴各元点（x，y=0）不保距地改变位置变为点（x，y=x）得直线y=x不≌x轴是不改变组成成员只改变聚集法则的变换（正如数列｛0，2，4｝变为数列｛2，0，4｝是不改变组成成员的变换一样），即直线y=x与x轴是组成成员相同（变位前后的点是同一点）但元不相同的点集。挖去R轴一个点x就留下一个“洞”（空心点）。x轴各点绕点（0，0）旋转45°或90°到新位置变为新点形成新点集即x轴绕原点旋转45°或90°变为新数轴≌x轴，是不改变组成成员（构造材料）只改变各成员空间位置的变换。鲜明对比的是挖去x轴一切自然数点就留下一有无穷多空心点的“有空心点直线”与x轴是组成成员不同的“直线”。
“以井代天”地将无穷多各异直（射）线误为同一直（射）线自然就会将两异直线段误为同一线段⊂相应直（射）线。将一大包饼干B不减员地压缩成一小块压缩饼干D，有人以为D是B的一小部分而将其一下子吃光，结果...。这是致命错误。同样直线段A不减、增员地均匀收缩变短不能成为A的真子集。x轴收缩成y=x/2轴≠x轴从而使直线段A=[0，2]={点x}⊂x轴不减、增员地均匀收缩变短成元为点y=x+δ=x/2的线段Z′=[0，1]={点y=x/2}（⊂y=x/2轴）～A与A是组成成员相同的点集，而A的真子集Z=[0，1]⊂A与A是组成成员不同的点集，据h几何常识2Z⊂A与Z′是伪二重直线段（第5节证明了数集Z′有正数元0.5x=t″<数集Z⊂A一切正数x）。自有初等几何学后的2300里一直无人能知存在伪二重直线（段）使初等数学断定“Z=Z′（自有函数概念几百年来数学一直认定定义域为A的y=x/2的值域Z′=Z⊂A）”，从而使康脱推出康健离脱的病态理论：A～Z′=Z⊂A。注：压缩变换使A各元点x沿x轴负向不保距平移到新位置变为点x+δ=0.5x，这是使点集任两异组成成员之间的距离变小但又不能小到=0的变换。
h定理2：数集A（一维空间中点集）保序变为B=A≌A即保序变回自己只能是恒等变换。
证：据h定理1 A保序变为B=A≌A只能是保序且保距变换。设A各数是数轴上点的坐标。管道g内的点集S={…}⊂R轴各点运动（运动的距离可=0）到新的位置形成还在管道g内新点集K；观图可知：S保序且保距变换为K≌S只能是平移，因非平移的各保距变换“S绕任一元点旋转180度变为新集≌S；S有的点回到原位有的点与别的点∈S相互对调位置，或各点都与别的点对调位置，变为新集≌S。”都是保距不保序变换。所以一维空间中的保序且保距变换只能是平移。管道g内点集A沿管道平移距离|c|变为B≌A，据h几何常识1当且仅当平移的距离|c|=0时才能使平移前后的集是同一集。证毕。
据h定理2x轴（空间直线）沿本身非恒等变换地保序平移、伸缩变为y=y(x)轴≠x轴可变为无穷多各异直线相互叠压在一起形成平行直线丛，而初数将无穷多各异线误为同一线；进而将无穷多各异平面（空间体）误为同一点集。注：平面（空间体）由无穷多相互∥的直线（平面）组成。
据h定理2A=R各元y=x保序变为y′=y′(x)组成B=｛y′｝=R一定是恒等变换使y=x与y′=y′(x)是同一增函数。所以R各元y=x保序变为y′=φ(x)组成B=｛y′｝，若增函数y′=φ(x) 的函数关系图与直线y=x（x∈R）不重合（近似重合）则必形象地说明R≠B（R≈B）。例增函数y=x3（x的变域是R）的函数关系图与直线y=x不重合形象地说明y=x3的值域≠定义域R（各元y=x）；增函数y=2x+5的函数关系图与直线y=x不重合形象地说明...。
3.一单身变为非单身的同时必生一新单身的变换不能使单身有任何减少——逻辑学起码常识让5000年都无人能识的“更无理”自然数一下子浮出水面
上节说明各点按规定进入各指定位置才能形成一点集。有了各数就能确定一数集，但有了各点还须有位置概念（以及规定各点分别处于哪一位置的聚集法则）才能确定一点集，正如有了各数还须有规定各数如何排列使其分别处于哪一位置的法则才能确定一数列一样；例x轴各点按某聚集法则各就各位聚集成元为点（x，y=0或=1等）的直线y（x）=0或=1等，按另一法则聚集成元为点（x，y=x）的直线y=x。
R轴即x轴各点x都在位置x内而与该位x结成对子（点x，位置x）（坐标x的变域是R），挖去R轴一个点x就留下一个“洞”（空心点）：“单身”的位置x。故可将R轴看成是元为对子的对子集，挖去R轴一切点x就留下一个空位（空心点）集～R（空位的坐标x∈R）。挖去R轴一个点x就留下一空位x使无空位的R轴变为有空位直线R′≠R轴，R′由R轴一切位置和部分元点组成；R′一元点离开原位进入到空位内的同时必生一新空位，所以R′的元点不可布满R′的一切位置（一位只容纳一点）。这说明挖去R轴部分点，剩下的点就不可布满R轴一切位置了，原因显然是位置比点多。这说明一无穷点集W失元变为W的无穷真子集V⊂W，V的元必少于W的元（见h定理4）。
将直线a一子部线段的点x都挖去就留下一“缺口”即空位（空心点）集，使a变为“有缺口直线”b，b由a一切位置和部分点组成，b有两种元：空位元x及对子（点x，位置x）元。
变数n取自然数∈N，挖去N=｛n≥0｝的0得N+=｛n≥1｝⊂N。设相应的变换前管道g内只有点集 N。N⊂R轴各点x都在位置x内从而可将 N看成是对子（点x，位置x）集（但有时可不管位置而令N 是点集），挖去N一切点x就留下一空位集～N。N中一非空位变为空位(空心点)的原因只能有两个：⑴N有元点离开原位与别的元点重合在同一位置内；⑵N有元点移出N外使剩下的点不可布满N一切位置。点集（“虚射线”）N=｛0，1，2，...，n，…｝⊂R轴各点x=n≥0保距平移到其右邻位置y=n+1内变为新点y=n+1≥1（n≥0）形成新点集H={1，2，…，y=n+1≥1，…}≌N与N是组成成员相同的点集。显然这平移不能产生出二重点（即各位置内都只有一个点）但却使位置x=n=0变为空位（点x=0移入其右邻位置x=1内了），这说明平移使一原∈N的点移出在N外（注：点x=0没有移出N外）即各新点n+1并非都能还在N内而必至少有一新点“更无理”地突出在N外（否则N就不能出现空位）；这N外点的坐标n+1>n显然是>数集N一切数n的标准无穷大自然数。若没⑴⑵，图形就绝不会出现空心点。几何图形出现空心点的原因显示有N外标准自然数。N+=｛n≥1｝⊂N与N是组成成员不相同的点集，而H≌N与N是组成成员相同的点集，据h几何常识2N+≠H。所以H≌N的点y=n+1≥1可布满N一切位置而N+⊂N的点n≥1不可布满N一切位置。初数几百年“N+=H”使世人误以为N+的点n≥1可布满N一切位置。以上说明挖去点集N部分点，剩下的点就不可布满N一切位置。同样，射线R+:x≥0的部分点是不可布满R+一切位置的。例：R+由无穷多对子（点x，位置x）组成（但有时可不管位置而令R+是点集），挖去直线段[0，1）⊂射线R+的全部点就使无空位的R+变为“有缺口（即空位集）射线”E而由空位（空心点的坐标x的变域是数集[0，1）⊂R+）集和R+的子部射线x≥1组成，有缺口的E由R+一切位置和射线x≥1组成。射线x≥1的点不可布满E一切位置（因一点离开原位进入空位x=0或x=0.1等等的同时必生一新空位）。各元点可布满R+一切位置的射线～R+与R+是组成成员相同的点集从而必不是R+的真子集。元为点x≥0的射线R+沿R轴正向平移变为射线S={点y=x+1≥1}（x≥0）≌R+是不改变组成成员的变换，S≌R+与R+是组成成员相同的射线，而R+的子部射线x≥1 与R+是组成成员不同的射线，据h几何常识2S与射线x≥1不是同一线，中学的“同一线”使世人误以为射线x≥1 通过沿R轴负向平移就能使其点布满射线R+（E）一切位置。
设F=｛（x，y=x）｝表F是元为有序数对的数对集,但F同时也可是以数为元的数集F=｛x、y=x｝=｛x｝；I=｛（x，y），（，y）｝表I是由有序数对元和“单身”数元y组成的混合集。其余类推。有序数对（x，y=x）中的y是x的“配偶”。由一对对数组成的数集才可成为数对集，一无穷数集能否成为数对集？不能想当然而须严格证明才能下结论。数对（1，2）是数集的一对元，是数对集的一个元。
数集N各偶数n=2p=0，2，...与奇数n+1可一一配对，而此配对不能使N的元有任何变化、增减从而使配对前、后的数集是同一集，即N=｛0，1，2，…，偶数n，n+1，…｝=｛（0，1），（2，3），…，（n，n+1），…｝，其中（0，1）若是一对（一个）元则N是数集（数对集）。据数集概念N各偶数n变为一对数（n，n+1）形成的数集只能是N。挖去数集N的0得N+={（，1），（2，3），（4，5）...} ⊂N是既有数对又有“单身”数1的集。N+中数不能与N+外数配对，N+中（2，3）的2改与单身数1配对，3就变为新单身，...。一单身变为非单身的同时必拆散一数对而生一新单生的重新配对不能使N+中单身有任何减少说明N+中各数之间任意重新配对后都必保持有单身使N+不能成为数对集。人有逻辑推理能力从而不应被“实无穷”中的假象迷惑，不应“眼（肉眼）不见为无”。应去伪存真地读书。可见逻辑学起码常识表明：由无穷多对又加一个数组成的数集(各数互异)不增（减）元就绝对不可变为由无穷多对数组成的数集。详论见[2][3]。不可成为数对集的N+各数x变为x-1得T={（，0），（1，2），（3，4）...}～N+也不可成为数对集，所以T～N+是似是而非的假N（N可成为数对集）。初数的“T=N（数学几百年来一直认定定义域为N+的y=n-1的值域T=N）”使康脱推出病态理论：N=T～N+⊂N。自有无穷数列（集）概念后的几百年里一直无人能知存在假N。
由无穷多对数组成的N各数n变为其后继y=n+1>n形成后继集H={1，2，…，y=n+1，…}～N也由无穷多对数组成，而N+⊂N由无穷多对又加一个数组成，所以H≠N+；且据下述h定理4～N的H≠N+⊂N。因N+各元n≥1均是n-1（≥0）∈N的后继∈H故H⊃N+，包含N+的H≠N+说明H中必至少有一N+外标准无穷大自然数y0=n0+1>n0∈N“更无理”地突破了N的“框框”而在N外，式中n0显然是N的最大元Ω，因其后继y0在N外。初数几百年“H（～N）=N+”使康脱推出病态的：N～N+⊂N。发现Ω说明｛0｝∪H是假N，...，可见自有无穷数列概念几百年来数学一直将无穷多各异假N误为N。详论见[2][3]。人类认识自然数后的5000年里一直无人能识Ω（与1∈N相隔无穷多自然数∈N）使初等数学一直将两异数列误为同一数列。显然Ω和Ω±1等等均是标准分析一直用而不知的N内、外标准无穷大自然数。5000年不识Ω使初数一直搞错了定义域均为N的无穷多函数y=n+1、y=2n+1、y=2n（或=2n+2）、...、y=n2、...的值域。发现Ω说明N的任何真子集的元都必少于N的元。详论见[2][3]。
注：若给数列A增项则必使A变为B≠A，所以不断增项（元）的数列（集）是不断变化的非固定数列（集），某些不断运动的动点画出的图形是变点集。
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发表于 2021-10-26 23:39
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