证明：当 x 为自然数，n 为大于 2 的自然数时，必有 (x+2)^n＞(x+1)^n+x^n

hicharlie

当x为自然数，n为大于2的自然数时，请证明

x+2和的n次方，比x+1和的n次方再加上x的n次方之和，前者恒大于后者！

谢谢

xfhaoym

分析：以y1=x^n为基准。y2=(x+2)^n,向左移动2个单位。而y3=（x+1)向左移动1个单位。(y3+y1)向左移动0.5个单位。这三条曲线又互相平行的，所以y2还是在(y3+y1)的左面。于是y2>(y3+y1)

uk702

解：当 \( n \)固定时，

\(
(x+2)^n = (x+1)^n + C_{n}^{1}(x+1)^{n-1} + C_{n}^{2}(x+1)^{n-2}+... +1 \\
\hspace{4.5em} ≤ (x+1)^n + ( C_{n}^{1}+...+ C_{n}^{n}) (x+1)^{n-1}  \\
\hspace{4.5em} = (x+1)^n + K (x+1)^{n-1}
\)

因此，若 \( x^n > K(x+1)^{n-1} \)  时，命题不成立。故，当 \( x > K\ 2^n > K(1+1/x)^{n-1} \) 时，必有 \( (x+2 )^n < (x+1)^n + x^n \)

cgl_74

这是道明显的错题啊。令n=3，x足够大；该不等式显然不成立。

luyuanhong

当 x=6 ，n=3 时，有

(x+2)^n=(6+2)^3=8^3=512 。

(x+1)^n+x^n=(6+1)^3+6^3=7^3+6^3=343+216=559 。

512＜559 ，可见这时并不成立 (x+2)^n＞(x+1)^n+x^n 。

uk702

对于固定的 n，显然有
\[
\lim_{x\to\infty} \frac{(x+1)^n + x^n}{(x+2)^n}=2
\]