ABCD 是平行四边形，E,F 在 CD,BC 上，BE,CF 交于 K，G,H 是 EF,BC 中点，求证 HG∥AK

uk702

如图，平行四边形ABCD，E、F 是分别是 CD、BC上的一点，BE 与 CF交于 K，G、H分别EF、BC的中点，求证：HG//AK。

求各种大法。

uk702

唉，换了个甲就不认得了。这题其实和下题相同：

已知 \( BD\parallel AC,CE\parallel AB,CD,BE 交于 P, M,N 分别是  DE, BC 中点.求证: MN\parallel AP \)

Future_maths

用矢量的方法可以很容易证明，有时间把证明写出来。

Future_maths

luyuanhong

楼上 Future_maths 的解答很好！已收藏。

cgl_74

我来补充一个解析几何的代数解法，并兼谈平面几何证法与代数证法的优劣势。供讨论。

1. 很显然，代数解法的劣势是计算比较繁琐，显得比较“笨拙”，在某种程度上“显得没有技术含量”。
2. 平面几何证法呢，不太容易归类和建模，从而体现了一定的创造性，显得“有技巧”。
3. 平面几何证法，由于强调图形和直观性，在严谨性和可拓展性上是不足的。以本题为例：
    * 严谨性不足：很多情况要分各种类型的图形才看得出来。一幅图是看不出所有情况的。比如此题，AK与HG是有可能重合的，并不是平行关系。也有可能H,G点重合为一个点。4楼证明的辅助线方法，当F点与B或D点重合时，是不成立的。
    * 拓展性不足。当动点E，F在直线CD，BD的延长线上时，在很多情况下，仍然有类似的结果。如果用几何证法，要画出多种图形才能证明。这反而显得繁琐。
4. 这里并不是要贬低平面几何的证法。毕竟这是一千多年前都存在的方法，在初中题目中广泛使用，也可以用于锻炼思维。锻炼思维，显然代数解法是没吸引力的。

denglongshan

cgl_74 发表于 2021-11-6 19:16
我来补充一个解析几何的代数解法，并兼谈平面几何证法与代数证法的优劣势。供讨论。

1. 很显然，代数解 ...

老师的观点与吴文俊院士不谋而合

http://www.360doc.com/content/17/0508/11/37288455_652070394.shtml
吴文俊先生说欧式几何不可能严谨！

uk702

百度几何吧上（https:\//tieba.baidu.com/p/7545021463），某神用向量叉乘，几行就搞定了。知乎专栏上（https:\//zhuanlan.zhihu.com/p/145792955）改用面积法（这两种方法本质等价），也是三几行就搞定了，真让人无限感慨！

luyuanhong

楼上 cgl_74 和 uk702 的解答已收藏。

cgl_74

uk702 发表于 2021-11-6 20:52
百度几何吧上（https:\//tieba.baidu.com/p/7545021463），某神用向量叉乘，几行就搞定了。知乎专栏上（htt ...

1. 楼1的题目，与楼2的题目，应该是不等价的吧。因为题目的条件限制都不一样。楼1的题目，需要固定A，B，C三个点；同时E，F是动点，沿固定方向滑动，但是E，F位置是相互独立的。楼2的题目，同样需要固定B，C，D三个点。A是动点，沿固定方向滑动，但是E点是依赖于A点来确定方向的，即E点与A点位置有依赖性，不独立。这与题1的条件限制不一样。
2. 我看了一下面积证法。思路确实很奇特，从而显得高明，我是想不出来的。但是那个性质4的证明，也是要花些步骤的。至少要把P点分为在三角形内部，三角形边线上，三角形外部这几种情况来证明。显得证明简单，只是用一种复杂性替代了另一种复杂性（证明过程用到了P在三角形内和三角形外2种情况）。而且存在一样的问题，AP与MN是可能在一条直线上，需要找到这种条件，并单独证明。