u,v 是二维向量，求 A=uv' 的两个特征值和对应的特征向量，验证 λ1+λ2=u1v1+u2v2

wufaxian

（刚才编辑界面无法打开，故文字没有补充完整就发出来了。）

请看上图。第二问的证明思路是假设v\(^{ T}\)u=0开始的。但是这是不是用一般性代替普遍性了？


是否可以如此证明！
1、因为是秩一矩阵，所以必定有一个特征值\(\lambda_{2 }\)=0，那么我们将非零的特征值命名为\(\lambda_{1}\)。
2、因为存在Ax=\(\lambda_{1}\)x，所以特征向量x在A的列空间中。
3、因为A是秩一。所以所有列包括x都在一个向量的延长线上。既     \(\begin{bmatrix}
u_{1 }\\
u_{2}
\end{bmatrix}\)    的延长线上。因此可以肯定 \(\begin{bmatrix}
u_{1 }\\
u_{2}
\end{bmatrix}\) 就是非零的特征值所对应的特征向量。那么当特征向量取 \(\begin{bmatrix}
u_{1 }\\
u_{2}
\end{bmatrix}\)时，对应的特征值\(\lambda_{1}\)等于多少呢？

Ax=\(\lambda_{1}\)x
\(u_{1 }\)\(u_{1 }\)\(v_{1 }\)+\(u_{1 }\)\(u_{2 }\)\(v_{1 }\)=\(\lambda_{1}\)\(u_{1 }\)
两边除以\(u_{1 }\)
\(u_{1 }\)\(v_{1 }\)+\(u_{2}\)\(v_{1 }\)=\(\lambda_{1}\)
由于\(\lambda_{2}\)=0，所以
\(u_{1 }\)\(v_{1 }\)+\(u_{2}\)\(v_{1 }\)=\(\lambda_{1}\)+\(\lambda_{2}\)

第二问得证。这样是不是更好呢？