a,b,c 为 ΔABC 中角 A,B,C 的对边，已知 ∠B=60°，证明 (a+b+c)[1/(a+b)+1/(b+c)]=3

wintex

請問幾何

kanyikan

a,b,c 为 ΔABC 中角 A,B,C 的对边，已知 ∠B=60°，证明 (a+b+c)[1/(a+b)+1/(b+c)]=3 。

证明：

由于 ∠B=60°，由余弦定理知 b^2=a^2+c^c-ac，于是 a^2+c^2=b^2+ac

(a+b+c)[1/(a+b)+1/(b+c)]

=1+c/(a+b)+1+a/(b+c)

=2+c/(a+b)+a/(b+c)

=2+[c(b+c)+a(a+b)]/[(a+b)(b+c)]

=2+(bc+c^2+a^2+ab)/[(a+b)(b+c)]

=2+(bc+b^2+ac+ab)/[(a+b)(b+c)]

=2+(a+b)(b+c)/[(a+b)(b+c)]

=2+1

=3

luyuanhong

楼上 kanyikan 的解答很好！已收藏。

王守恩

kanyikan 发表于 2021-11-9 12:50
a,b,c 为 ΔABC 中角 A,B,C 的对边，已知 ∠B=60°，证明 (a+b+c)[1/(a+b)+1/(b+c)]=3 。

证明：

a,b,c 为 ΔABC 中角 A,B,C 的对边，已知 ∠B=60°，证明 (a+b+c)[1/(a+b)+1/(b+c)]=3
原题即证：c(b+c)+a(a+b)=(a+b)(b+c)
记\(a=\sin(A)\ \ b=\sin(60^\circ)\ \ c=\sin(A+60^\circ)\)
\(\sin(A+60^\circ)(\sin(60^\circ)+\sin(A+60^\circ))+\sin(A)(\sin(A)+\sin(60^\circ))=(\sin(A)+\sin(60^\circ))(\sin(60^\circ)+\sin(A+60^\circ))\)
硬算也是可以的。

波斯猫猫

题：a,b,c 为 ΔABC 中角 A,B,C 的对边，已知 ∠B=60°，证明 (a+b+c)[1/(a+b)+1/(b+c)]=3 。

分析法：由(a+b+c)[1/(a+b)+1/(b+c)]=3

去分母得(a+b+c)(a+2b+c)=3(a+b)(b+c)，

展开整理得 b^2=a^2+c^2-ac，

即b^2=a^2+c^2-2accosB  (余弦定理。∠B=60°)，且每一步都可逆。

故等式 (a+b+c)[1/(a+b)+1/(b+c)]=3 成立。