数学中国

标题: 介绍一种新的几何学-汇心几何学 [打印本页]

作者: 宇宙无理数 时间: 2021-11-10 15:11
标题: 介绍一种新的几何学-汇心几何学
本帖最后由宇宙无理数于 2023-7-8 08:05 编辑

汇心几何学的英文名称是Intercenter Geometry，下载网址是：arxiv.org/abs/2107.08388

汇心几何学中文9版的下载地址为: https://www.researchgate.net/profile/Daiyuan-Zhang.

汇心几何学(Intercenter Geometry)目前的最新版是V9版. 从最初的第一版发展到如今的第九版, 内容发生了很大变化, 增加了许多新的内容. 下面对V9版做一个简要介绍. 本文涉及到的定理编号引自最新的V9版.

汇心几何学的理念是: 平面上的几何量用该平面上一个给定的三角形的三条边的边长来表示; 空间中的几何量用该空间中一个给定的四面体的六条棱的棱长来表示. 在汇心几何学中, 采用统一的向量方法解决了三角形和四面体的一些几何量的计算问题. 在几何学与几何不等式方面得到了许多新的定理和公式. 特别是, 汇心几何学解决了一些长期以来欧氏几何学和解析几何学(坐标几何学)没有解决的问题, 例如四面体的重心和内心之间的距离等等. 汇心几何学丰富了几何学的内容, 不仅对开拓数学的研究领域, 探索数学研究的新思想、新方法具有理论意义, 也对弘扬创新精神具有积极的意义. 汇心几何学的丰硕成果也具有实际应用价值.

首先提出一个问题: 给定一个四面体的六条棱的棱长, 如何计算该四面体的重心与内心之间距离? 这个问题无论使用欧氏几何学方法还是使用解析几何学方法都很难得到结果. 这是它们的缺点所决定的.

是否存在一种几何学, 既保留欧氏几何学与解析几何学的优点, 同时又克服两者的缺点呢？汇心几何学就是一次尝试.

在欧氏几何学中, 并没有将空间的点与一组实数建立对应的关系, 因此很难采用建立在实数运算基础之上的代数运算理论和方法来处理诸如长度、面积等等的一些度量问题. 无法与代数学建立有机联系是欧氏几何学的“软肋”, 或者说是欧氏几何学的“天然缺陷”. 欧氏几何（无论是平面几何还是立体几何）的另一个缺陷就是：许多问题的求解都表现得相当个性化, 通常是一题一策, 需要较高的解题技巧, 缺少一般的统一方法.

解析几何学引入了点的坐标, 将空间的基本要素“点”与实数建立了对应关系, 从而能够采用代数方法研究几何学. 由于采用了代数方法, 使得原本在欧氏几何学中难以计算的一些度量问题可以得到解决. 采用解析几何学方法, 首先就需要建立坐标系, 而坐标系的建立带有很大的人为因素. 对于不同的坐标系, 点的坐标是不同的. 即使是同一类坐标系, 坐标原点位置的不同也会导致空间点的坐标的不同. 与欧氏几何相比, 解析几何虽然能够比较方便地计算出一些几何量, 但是由于解析几何的基本参数是点的坐标, 其计算结果往往只包含点的坐标, 而不会包含像长度, 面积等等一些基本的几何量, 这就使得解析几何的计算结果不够“自然”. 例如, 计算三角形的面积, 解析几何方法通常会建立坐标系, 然后选择三角形的顶点坐标为变量(参数)进行计算, 所得到的结果也是三个点的坐标的函数, 与三角形三条边的边长似乎没有直接的联系. 从这三个点的坐标的函数很难想象出会有海伦公式那样优美对称的结果, 这是因为海伦公式这样的表达形式, 其基本参数是边长这样的“自然”量, 而不是抽象的点的坐标. 尽管通过对解析几何的计算结果进行代数运算, 可以将坐标表示的结果转换成由边长、面积等参数表示的几何量, 但是通常需要通过复杂而困难的代数运算. 特别是, 如果没有已知结果的提示(例如已知的海伦公式等), 代数运算就会显得很茫然, 没有目标. 总之, 解析几何的计算结果通常看不到由边长、面积等“自然”参数来表示的一些几何量之间的内在关系, 更难以体会这些“自然”量之间的对称美. 采用解析几何计算出来的几何量仿佛披上了一层人为的神秘面纱, 掩盖了原本优美迷人的“庐山真面目”.

现在来看看汇心几何学的一个结论. 给定一个四面体, 则该四面体的重心\(G\)与内心\(I\)之间距离的平方为(见汇心几何学V9版中的定理26.4):
\[G{{I}^{2}}=-\frac{1}{{{S}^{2}}}\left( \begin{aligned}
& \left( {{S}^{A}}-\bar{S} \right)\left( {{S}^{B}}-\bar{S} \right)A{{B}^{2}}+\left( {{S}^{A}}-\bar{S} \right)\left( {{S}^{C}}-\bar{S} \right)A{{C}^{2}} \\
& +\left( {{S}^{A}}-\bar{S} \right)\left( {{S}^{D}}-\bar{S} \right)A{{D}^{2}}+\left( {{S}^{B}}-\bar{S} \right)\left( {{S}^{C}}-\bar{S} \right)B{{C}^{2}} \\
& +\left( {{S}^{B}}-\bar{S} \right)\left( {{S}^{D}}-\bar{S} \right)B{{D}^{2}}+\left( {{S}^{C}}-\bar{S} \right)\left( {{S}^{D}}-\bar{S} \right)C{{D}^{2}}
\end{aligned} \right).\]
其中\(S^A\)、\(S^B\)、\(S^C\)、\(S^D\)分别是四面体\(ABCD\)的四个顶点\(A\)、\(B\)、\(C\)、\(D\)的对面三角形的面积；\(S\)是四面体\(ABCD\)的表面积；\(AB\)、\(AC\)、\(AD\)、\(BC\)、\(BD\)、\(CD\)分别是四面体\(ABCD\)的六条棱的棱长；\(\overline{S}\)是四面体\(ABCD\)的表面积的平均值, 即
\[\bar{S}=\frac{1}{4}S=\frac{1}{4}\left( {{S}^{A}}+{{S}^{B}}+{{S}^{C}}+{{S}^{D}} \right).\]
以上公式无论使用欧氏几何学还是使用解析几何学方法都是很难得到的.

\(GI^2\)的表达式说明: 四面体的重心和内心之间的距离可以被该四面体的四个面的面积和六条棱的棱长来表示, 这些量都是四面体的“自然”参数, 不包含任何与坐标相关的信息. 四面体的四个面都是三角形，其面积可以利用海伦公式写成边长的函数. 所以，只要给定一个四面体的六条棱的棱长, 就可以计算出该四面体的重心与内心之间距离. 汇心几何学得到的这个创新公式确实对称优美.

以上仅仅是一个例子. 众所周知, 两个点之间的向量(或距离)是一切几何量的基础, 因此, 寻求两个点之间的向量(或距离)就成了几何学研究的重头戏. 汇心几何学能够在统一的观点下很好处理像三角形或四面体的重心与内心之间的向量、距离之类的问题. 具体说来, 汇心几何学能够在统一的观点下处理三角形的七个心(重心, 内心, 垂心, 外心和三个旁心), 四面体的重心, 内心, 外心, 三面角内的旁心(四个)之间的向量, 距离等几何量, 并且将这些几何量用三角形的三条边的边长或四面体六条棱的棱长来表示. 用边长或棱长表示的几何量便于揭示几何量之间的内在联系. 这些用统一观点推导出来的公式很容易程序化, 非常容易在计算机上实现. 因此在计算机, 人工智能, 物理, 化学等领域都有潜在的应用. 不仅如此, 三角形的边长和四面体的棱长都是最“直接”, 最“自然”, 最“亲民”的参数, 也是最容易测量的参数. 与用顶点坐标表示的解析几何公式相比, 用边长或者棱长表示的几何量的公式将更加受到工程师的青睐, 因此会有广泛的应用. 汇心几何学的这些成果是欧氏几何学和解析几何学无法做到的.

除此以外, 汇心几何学还得到了一些几何学的新定理, 也得到了一些新的几何不等式.

当然, 汇心几何学不是万能的. 在我们的地球村里不存在能够求解所有数学问题的万能方法, 但是, 追求某一类问题的系统的一般求解方法一直以来都是数学家们梦寐以求的目标.

汇心几何学本身也需要进一步的发展和完善.

以上是根据个人理解介绍了汇心几何学, 是一家之谈. 欢迎其他学者补充完善.

随着汇心几何学版本的更新以及我对汇心几何学的理解的加深, 我会不定期更新这篇文章. 谢谢您的驻足!

作者: 宇宙无理数 时间: 2021-11-10 15:17
标题: HaHa
本帖最后由宇宙无理数于 2021-11-11 14:17 编辑

Hello, World!

作者: creasson 时间: 2021-11-11 13:50
大约就是重心坐标吧

作者: 宇宙无理数 时间: 2021-11-11 14:12

creasson 发表于 2021-11-11 13:50
大约就是重心坐标吧

不是重心坐标。

作者: creasson 时间: 2021-11-11 14:33

宇宙无理数发表于 2021-11-11 14:12
不是重心坐标。

我相信是的
[attach]104056[/attach]

作者: 宇宙无理数 时间: 2021-11-11 16:09
我仍然认为不是。首先，你提供的公式中，那些\(A_i\)是标量吧？其次，我在重心坐标的专著中不曾看到过我前面提到的那个四面体重心与内心之间距离的公式；最后，只能说恰巧汇心几何学中有些系数的确满足\(\sum_{ }^{ }\lambda_i=1\)，形式上与重心坐标有些类似，但并不能由此说明两者相同。

作者: creasson 时间: 2021-11-11 16:29

宇宙无理数发表于 2021-11-11 16:09
我仍然认为不是。首先，你提供的公式中，那些\(A_i\)是标量吧？其次，我在重心坐标的专著中不曾看到过我前 ...

式中,\(P,Q,A_k\)所表示的是点，两点之差即是向量，利用向量内积导出距离计算式。

四面体的重心-内心距离式在一般书上也的确难以见到，但由这距离式是容易导出的。

又如，四面体内心-外心距离：

\[O{I^2} = {R^2} - \frac{{{S_A}{S_B}A{B^2} + {S_A}{S_C}A{C^2} + {S_A}{S_D}A{D^2} + {S_B}{S_C}B{C^2} + {S_B}{S_D}B{D^2} + {S_C}{S_D}C{D^2}}}{{{{({S_A} + {S_B} + {S_C} + {S_D})}^2}}}\]

重心-外心距离：
\[O{G^2} = {R^2} - \frac{1}{{16}}(A{B^2} + A{C^2} + A{D^2} + B{C^2} + B{D^2} + C{D^2})\]

作者: creasson 时间: 2021-11-11 16:41
刚再看了下，你的书中也有这两式。

作者: 宇宙无理数 时间: 2021-11-11 17:01
一个三角形如果已知两条边的平方，通常无法求得第三条边的平方吧！！！还有，你前面说的公式里\(A_i\)是标量吧，请给个明确回复。

作者: creasson 时间: 2021-11-11 17:21

宇宙无理数发表于 2021-11-11 17:01
一个三角形如果已知两条边的平方，通常无法求得第三条边的平方吧！！！还有，你前面说的公式里\(A_i\)是标 ...

单写\(A_i\)是表示点, 对任意维空间。 \({A_i}{A_j}\)记为两点之间的长度。

"一个三角形如果已知两条边的平方，通常无法求得第三条边的平方吧" ，当然如此，但不明白你这句话的所指。

作者: creasson 时间: 2021-11-11 17:31
若用重心坐标计算几何，通常这两个式子是比较方便了，我想你的全书核心也在于此。曾在国外的一篇文章中见过这距离式，国外用重心坐标做几何计算的似乎还挺多，但国内几乎没有介绍，你书中所列各式在国内书上也基本上没有，但我窃以为命名略有不妥。
个人认为重心坐标还是有局限，其一即是难处理角度，虽说可以用余弦定理转化。

作者: 宇宙无理数 时间: 2021-11-12 08:31
本帖最后由宇宙无理数于 2021-11-12 08:33 编辑

creasson 发表于 2021-11-11 16:29
式中,\(P,Q,A_k\)所表示的是点，两点之差即是向量，利用向量内积导出距离计算式。

四面体的重心-内心 ...

我不同意你的观点。
从几何上看，如果一条线段的长度是a，另外一条线段的长度是b，其和是a+b。从代数上看，如果一个实数是a，另外一个实数是b，其和是a+b。表达式都是a+b，能认为几何与代数相同吗？汇心几何学主要研究的是IR和IR-T张量，这些量在重心坐标中没有涉及，能说汇心几何学与重心坐标相同吗？学科的划分主要看所研究的对象。汇心几何学肯定属于几何学范畴，而重心坐标究竟属于几何还是代数值得推敲。

作者: 宇宙无理数 时间: 2021-11-12 08:35

creasson 发表于 2021-11-11 16:29
式中,\(P,Q,A_k\)所表示的是点，两点之差即是向量，利用向量内积导出距离计算式。

四面体的重心-内心 ...

作者: 宇宙无理数 时间: 2021-11-12 08:40

creasson 发表于 2021-11-11 17:31
若用重心坐标计算几何，通常这两个式子是比较方便了，我想你的全书核心也在于此。曾在国外的一篇文章中见 ...

"曾在国外的一篇文章中见过这距离式"，能发个截图或者链接来看看吗？

作者: creasson 时间: 2021-11-12 10:07
属于代数几何范畴吧。既然观点有异，不谈这个也罢。
那篇文章找不到了，大约两三年前看到的吧，隐约是关于泰博定理的一个计算证明。
另外，纯几何吧讨论几何的氛围浓厚些，你可以发表在那里，会有更多感兴趣的人。

作者: creasson 时间: 2021-11-12 10:30
搜了下，找到一些其他文章中有提到：

Interior Distance Using Barycentric Coordinates（R. M. Rustamov1 Y. Lipman2 T. Funkhouser2）
[attach]104109[/attach]

math.stackexchange.com "distance-formula-for-n-dim-barycentric-coordinates"
[attach]104110[/attach]

Barycentric Coordinates in Olympiad Geometry （Max Schindler∗ Evan Chen†）
[attach]104111[/attach]

作者: creasson 时间: 2021-11-12 10:49
Metrical relations in barycentric coordinates（Vladimir Volenec）

[attach]104112[/attach]

你可以顺子这些文章的附录再搜搜，应该还可以找到很多，包括四面体的。

作者: 宇宙无理数 时间: 2021-11-12 10:54
你给的截图没有提到四面体重心和内心之间距离的公式，如果能够找到和我之前发的那个公式相同或相似，还请发给我，我对这个专题比较感兴趣。

作者: 宇宙无理数 时间: 2021-11-12 10:59
看来你对重心坐标情有独钟，如何用重心坐标证明四面体的葛尔刚点？你关注过这方面吗？

作者: creasson 时间: 2021-11-12 11:11

宇宙无理数发表于 2021-11-12 10:54
你给的截图没有提到四面体重心和内心之间距离的公式，如果能够找到和我之前发的那个公式相同或相似，还请发 ...

四面体重心、内心、外心等等的表示都是已知的，代入即得，又何必执着于此。
葛尔刚点---四面体内切球的各切点与顶点的连线交点，对吧？事实上有更一般的，与四面体相切的二次曲面的各切点结论：
[attach]104114[/attach]

作者: 宇宙无理数 时间: 2021-11-12 12:06
貌似只有切点，没有证明葛尔刚点。

作者: 宇宙无理数 时间: 2021-11-13 08:34

宇宙无理数发表于 2021-11-12 08:31
我不同意你的观点。
从几何上看，如果一条线段的长度是a，另外一条线段的长度是b，其和是a+b。从代数 ...

是的，抓住耗子就是好猫。

作者: 宇宙无理数 时间: 2021-11-15 16:57

creasson 发表于 2021-11-12 10:30
搜了下，找到一些其他文章中有提到：

Interior Distance Using Barycentric Coordinates（R. M. Rustamo ...

你发的截图中的那些（重心坐标）系数（例如\(\pi_i\)等）并没有和四面体的内心、重心等参数结合起来，仅仅是一个抽象的表达式，所以说并没有解决具体的问题。

作者: 宇宙无理数 时间: 2021-11-17 21:19

creasson 发表于 2021-11-12 10:07
属于代数几何范畴吧。既然观点有异，不谈这个也罢。
那篇文章找不到了，大约两三年前看到的吧，隐约是关于 ...

有哪些好的几何吧？

作者: 宇宙无理数 时间: 2021-11-27 11:22
P. J. Davis曾经指出：“数学教材必须改变欧几里得的解释模式，它的僵化常常使人感到迟钝。”，这话耐人寻味。

作者: denglongshan 时间: 2021-11-27 22:19
建议老师把核心内容写成中文，读者会容易一些

作者: 宇宙无理数 时间: 2021-11-29 17:11
你想写这方面的论文吗？

作者: 宇宙无理数 时间: 2021-11-29 17:12

denglongshan 发表于 2021-11-27 22:19
建议老师把核心内容写成中文，读者会容易一些

你想写这方面的论文吗？

作者: 宇宙无理数 时间: 2021-12-20 22:56

宇宙无理数发表于 2021-11-29 17:12
你想写这方面的论文吗？

一般而言, 向量商不存在.

作者: 數海泛舟 时间: 2021-12-22 14:27
好，收藏學習

作者: denglongshan 时间: 2021-12-23 19:58
本帖最后由 denglongshan 于 2021-12-23 20:01 编辑

参考数学中的直观、定义与表达http://www.mathchina.com/bbs/for ... ead&tid=2049273

在数学教程中如何给出定义，经常是值得研究的。好的定义应当揭示概念的本质，是“what”层面的，而不是“how”层面的。
还值得指出，一般不能说定义的对错（Yuri Zarhin 曾无奈地说: “Well，every definition is correct”），只能说定义的优劣。一个好的定义能够揭示客观存在或自然规律，启迪思维，引导有意义的研究方向。在极端的情形，甚至一个好的定义就解决了问题。遗憾的是很多定义有缺陷。有的教科书将直观当作定义，毫无科学严谨性可言，有些还颇为费解，
\(\frac{BA}{BC}=\lambda，e^{iB}=v{,}定义\frac{\overrightarrow{BA}}{\overrightarrow{BC}}=\lambda v，\lambda 和v分别称为长度商和方向商\)，这就是向量商的概念，可以证明很多几何定理。

实例证明内角平分线定理

\(假设\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AD}\overline{v },其中v=e^{i\alpha}\)
\( \overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AD}r2\overline{v}{,}\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AD}r1v\),可得\(\frac{\overrightarrow{DC}}{\overrightarrow{DB}}=\frac{\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AD}}{\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AD}}=\frac{r1v\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AD}}{r2v\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AD}}=\frac{r1v-1}{r2v-1}=\frac{r1\overline{v}-1}{r2\overline{v}-1}=\frac{r1\left( v-\overline{v}\right)}{r2\left( v-\overline{v}\right)}=\frac{r1}{r2}=-\frac{AC}{AB}\)

老师得方法如何做？

作者: 宇宙无理数 时间: 2021-12-25 09:39

denglongshan 发表于 2021-12-23 19:58
参考数学中的直观、定义与表达http://www.mathchina.com/bbs/forum.php?mod=viewthread&tid=2049273

内角平分线定理在许多资料上都有证明, 由于我最近关注的是汇心几何学, 给你提供汇心几何学中的证明, 见5.2节. 其他资料的证明我需要时间查询.

作者: 宇宙无理数 时间: 2021-12-28 08:12

數海泛舟发表于 2021-12-22 14:27
好，收藏學習

哈, 繁体中文. 你是港澳台朋友?

作者: 宇宙无理数 时间: 2021-12-29 17:17

denglongshan 发表于 2021-12-23 19:58
参考数学中的直观、定义与表达http://www.mathchina.com/bbs/forum.php?mod=viewthread&tid=2049273

看来你很执着, 在签字里面都在谈论向量商.

作者: 宇宙无理数 时间: 2022-1-1 08:26
各位数学达人, 新年吉祥!

作者: ccmmjj126 时间: 2022-1-2 01:57
是南邮的张教授吗？搞计算机的怎么有兴趣研究起几何来了？

作者: 宇宙无理数 时间: 2022-1-4 12:26

宇宙无理数发表于 2021-12-29 17:17
看来你很执着, 在签字里面都在谈论向量商.

追求科学真理应该执着. 但是也请你考虑一个问题: 向量已经有几百年的历史了, 如果能定义除法, 早就有人给出定义了, 数学家们不会把他留到今天吧?

作者: 宇宙无理数 时间: 2022-1-6 21:42

宇宙无理数发表于 2021-12-29 17:17
看来你很执着, 在签字里面都在谈论向量商.

其实我也很执着, 这一点我们有些相像. 你这么多年追求向量商究竟想达到什么目标? 你希望定义的向量商究竟是针对点积还是针对叉积? 对平面向量而言, 两个向量的点积和叉积都不满足运算的封闭性,

作者: denglongshan 时间: 2022-1-6 22:17
本帖最后由 denglongshan 于 2022-1-6 22:20 编辑

谢谢老师关注，希望得到学术界的一致公认，期待早日进入课本。既不是针对点积还是针对叉积，而是这概念利用复数可以很好描述平面向量之间的关系，并用来解决平面几何问题。更一般地，传统几何能否用向量表达，并且获得更优美的结论？
S．T．Sanders在《OnMathematical Certainty．National MathematicsMagazine．1941》．中指出：假设的方法就是在不知道某判断是否正确的时候，先认为它是正确的，以此为前提 (条件)进行推理，看一看推理的结果是否正确，如果正确．说明这个判断是真的，如果推理的结论不正确，说明这个判断是假的。

向量商可以很好地解释复数运算的一些结果，在科学院李教授说是可以的，本论坛Cresson、elim和天山草等老师认可，当然陆老师不认可。
李涛博士导师是张景中院士，他应用向量商却不定义，这不合理，图片选自李涛博士论文。

您考虑过向量与复数的乘积表示什么吗？
这篇文章的观点很赞成向量的除法-复数，https://blog.csdn.net/u010141928/article/details/82596876
以前你说过一般不存在，难道说在什么特殊情况可以定义？

作者: denglongshan 时间: 2022-1-6 22:48
论文已经退稿，犹豫是否发出来或者再投稿

作者: 宇宙无理数 时间: 2022-1-13 18:22

denglongshan 发表于 2022-1-6 22:17
谢谢老师关注，希望得到学术界的一致公认，期待早日进入课本。既不是针对点积还是针对叉积，而是这概念利用 ...

一维(共线)向量可以形式上引入向量除法.

作者: 數海泛舟 时间: 2022-1-16 11:22
湖北，宇宙無理數老師

作者: 宇宙无理数 时间: 2022-1-20 07:37

宇宙无理数发表于 2022-1-13 18:22
一维(共线)向量可以形式上引入向量除法.

是形式上的向量除法.

作者: 宇宙无理数 时间: 2022-1-24 09:13

宇宙无理数发表于 2022-1-20 07:37
是形式上的向量除法.

之所以说是形式除法, 是因为共线向量的除法与对应的数域中数的除法的性质不完全一致.

作者: 宇宙无理数 时间: 2022-1-29 11:49

數海泛舟发表于 2022-1-16 11:22
湖北，宇宙無理數老師

内地人使用繁体汉字的不多哟.

作者: 宇宙无理数 时间: 2022-2-2 18:59

宇宙无理数发表于 2022-1-24 09:13
之所以说是形式除法, 是因为共线向量的除法与对应的数域中数的除法的性质不完全一致.

向量除法新的性质有哪些? 有何亮点? 能否解决其他方法无法解决的问题?

作者: denglongshan 时间: 2022-2-2 21:19
本帖最后由 denglongshan 于 2022-2-2 21:27 编辑

宇宙无理数发表于 2022-2-2 18:59
向量除法新的性质有哪些? 有何亮点? 能否解决其他方法无法解决的问题?

上图中，\(\frac{\overrightarrow{AB}}{\overrightarrow{BC}}=\frac{\overrightarrow{A_1B_1}}{\overrightarrow{B_1C_1}}\Rightarrow\begin{cases}
\frac{\overrightarrow{AB}}{\overrightarrow{A_1B_1}}=\frac{\overrightarrow{BC}}{\overrightarrow{B_1C_1}}\\
\overrightarrow{AB}\overrightarrow{B_1C_1}=\overrightarrow{B_1C_1}\overrightarrow{BC_{ }}
\end{cases}\cdot\)
1如图，解释共线向量的除法变换的结论 2 解释一些计算结果的几何意义，下图O1，O2是定圆，AB过P是动直线，求证∠AQB，QA：QB是定值，可以计算得：\(\frac{a-q}{b-q}=\frac{o1-q}{o2-q}\)
[attach]107007[/attach]
3向量商描述几何条件很严谨，一些经典著作对相似条件的描述不够严谨，如下图，Y'虽然符合条件，结论显然不成立[attach]107010[/attach]
4 复数可以加减乘除四则运算，复数可以表示向量，向量就应该有除法。可以定义向量与复数的乘除法，并且有几何意义。http://www.mathchina.com/bbs/for ... =2439805&page=1
论文更详细，发给你可以吗？留下信箱

作者: 宇宙无理数 时间: 2022-2-14 17:26

denglongshan 发表于 2022-2-2 21:19
上图中，\(\frac{\overrightarrow{AB}}{\overrightarrow{BC}}=\frac{\overrightarrow{A_1B_1}}{\over ...

谢谢你的信任. 我比较忙, 很可能无法及时回复, 以免影响你的研究进程, 还请你把文件打包发到这里来, 这里有不少数学达人, 可以帮助你.

作者: 宇宙无理数 时间: 2022-2-27 07:53

宇宙无理数发表于 2022-2-14 17:26
谢谢你的信任. 我比较忙, 很可能无法及时回复, 以免影响你的研究进程, 还请你把文件打包发到这里来, 这里 ...

可以理解. 希望能介绍你的向量除法的创新和亮点,

作者: 宇宙无理数 时间: 2022-2-27 09:39
本帖最后由宇宙无理数于 2022-2-27 09:49 编辑

宇宙无理数发表于 2022-2-27 07:53
可以理解. 希望能介绍你的向量除法的创新和亮点.

我在介绍汇心几何学时, 举例给出了一个创新成果: 四面体内心与重心之间的距离公式, 这个公式是首次公开发表的, 是采用传统方法无法得到的. 当然, 汇心几何学还有许多其他创新成果, 在介绍的文章里不可能一一列举. 刚才上了arXiv, 发现汇心几何学已经更新到V5版了. 我之前的介绍是依据V3版做的. 看来我需要进一步学习, 等有时间进一步完善介绍汇心几何学的文章.
请问你的向量除法是否也能得到传统方法无法得到的创新成果? 如果有也请在这里把结果列出来, 只有这样才能引起专家, 学者和广大读者的关注.

作者: denglongshan 时间: 2022-2-27 21:42

宇宙无理数发表于 2022-2-27 09:39
我在介绍汇心几何学时, 举例给出了一个创新成果: 四面体内心与重心之间的距离公式, 这个公式是首次公开 ...

这么说，汇心几何学你不是创建者？目前倒是没有得到传统方法无法得到的创新成果，但是可以很好解释一些用复数计算得到的几何结论，比如47楼的案例

作者: 宇宙无理数 时间: 2022-3-28 18:16

denglongshan 发表于 2022-2-27 21:42
这么说，汇心几何学你不是创建者？目前倒是没有得到传统方法无法得到的创新成果，但是可以很好解释一些用 ...

如果你研究的向量除法没有创新, 就比较遗憾了. 我之所以介绍汇心几何学, 就是因为汇心几何学有很多创新成果, 可以说是成果丰硕.

作者: denglongshan 时间: 2022-3-28 20:06
汇心几何学得到哪些没有得到传统方法无法得到的创新成果？向量除法的创新在于可以很好解释一些用复数计算得到的几何结论

作者: 宇宙无理数 时间: 2022-4-27 11:40

denglongshan 发表于 2022-3-28 20:06
汇心几何学得到哪些没有得到传统方法无法得到的创新成果？向量除法的创新在于可以很好解释一些用复数计算得 ...

汇心几何学的创新点很多, 例如前面提到的四面体的重心到内心之间的距离就是一个例子. 据我所知, 只有汇心几何学推导出了这样的公式, 发展了两千余年的欧氏几何学和发展了几百年的解析几何学都没有得到这样的公式. 这也只是一个例子, 可以说是冰山一角, 你如果想全面了解汇心几何学的创新之处, 最好去读原著, 那本书两三百页, 我无法在这里用几句话做出全面介绍.

作者: 宇宙无理数 时间: 2022-5-12 16:16

宇宙无理数发表于 2022-4-27 11:40
汇心几何学的创新点很多, 例如前面提到的四面体的重心到内心之间的距离就是一个例子. 据我所知, 只有汇心 ...

不客气. 我最近正在研究汇心几何学的最新版本, 新版本又有一些新的结果, 有些我还没理解透彻, 等理解透彻后会更新那篇介绍文章, 到时候也会告诉你. 汇心几何学的作者更新的太快, 不时就会推出新版本, 我一直跟踪汇心几何学, 我感觉有点跟不上.

作者: 宇宙无理数 时间: 2022-6-15 07:47

宇宙无理数发表于 2022-5-12 16:16
不客气. 我最近正在研究汇心几何学的最新版本, 新版本又有一些新的结果, 有些我还没理解透彻, 等理解透彻 ...

汇心几何学已经出V8版了.

作者: 宇宙无理数 时间: 2022-6-15 11:28

宇宙无理数发表于 2022-6-15 07:47
汇心几何学已经出V8版了.

@Nicolas2050. 你如果有什么见解可以交流, 但是请你不要说粗话!

作者: 宇宙无理数 时间: 2022-11-27 12:46
本帖最后由宇宙无理数于 2022-11-27 12:49 编辑

由张代远的一个公式引发的思考!
我介绍过汇心几何学中的以下公式.
给定一个四面体, 则该四面体的重心\(G\)与内心\(I\)之间距离的平方为(见“汇心几何学”中的定理26.2.1):
\[G{{I}^{2}}=-\frac{1}{{{S}^{2}}}\left( \begin{aligned} & \left( {{S}^{A}}-\bar{S} \right)\left( {{S}^{B}}-\bar{S} \right)A{{B}^{2}}+\left( {{S}^{A}}-\bar{S} \right)\left( {{S}^{C}}-\bar{S} \right)A{{C}^{2}} \\ & +\left( {{S}^{A}}-\bar{S} \right)\left( {{S}^{D}}-\bar{S} \right)A{{D}^{2}}+\left( {{S}^{B}}-\bar{S} \right)\left( {{S}^{C}}-\bar{S} \right)B{{C}^{2}} \\ & +\left( {{S}^{B}}-\bar{S} \right)\left( {{S}^{D}}-\bar{S} \right)B{{D}^{2}}+\left( {{S}^{C}}-\bar{S} \right)\left( {{S}^{D}}-\bar{S} \right)C{{D}^{2}} \end{aligned} \right).\]
其中\(S^A\)、\(S^B\)、\(S^C\)、\(S^D\)分别是四面体\(ABCD\)的四个顶点\(A\)、\(B\)、\(C\)、\(D\)的对面三角形的面积；\(S\)是四面体\(ABCD\)的表面积；\(AB\)、\(AC\)、\(AD\)、\(BC\)、\(BD\)、\(CD\)分别是四面体\(ABCD\)的六条棱的棱长；\(\overline{S}\)是四面体\(ABCD\)的表面积的平均值, 即
\[\bar{S}=\frac{1}{4}S=\frac{1}{4}\left( {{S}^{A}}+{{S}^{B}}+{{S}^{C}}+{{S}^{D}} \right).\]
我一直想尝试采用欧氏几何学的方法来证明以上公式, 结果都以失败告终. 于是引发了一些思考.
首先, 什么是欧氏几何学? 如何给欧氏几何学下一个严谨定义? 我查询过一些资料, 没有得到满意的答案. 尽管克莱因曾经采用变换群的角度对于几何学进行过分类, 但是没有解决我提出的如下问题.
问题: 如何采用欧氏几何学的方法证明上面提到的四面体的重心与内心之间距离的平方公式?
尽管目前无法给出欧氏几何学的严谨定义, 但是欧氏几何学一些特征大家都非常熟悉. 例如, 欧氏几何学利用直观图形的元素之间的位置关系进行适当的平移, 旋转, 相似等等的变换, 适当引入辅助线或辅助面, 然后利用全等, 相似等关系直观地从图形(我把这种图形称为“可视化”图形)上显示出人们视觉可见的几何量之间的关系, 再根据这种“可视化”图形推导出几何量之间的公式. 由于给出了“可视化”图形, 就使得几何量的计算变得简单, 或许这就是为什么欧氏几何学中的数学计算过程通常比较简单的缘故. 可见, 对于一个给定的问题, 欧氏几何学的解题过程通常分为两步: 第一步, 建立与问题相关的“可视化”图形; 第二步, 根据“可视化”图形计算出问题的结果.
凡是学习过欧氏几何学的人都知道, 第一步往往是最困难的. 事实上, 对于有些问题, 其几何量之间的关系很复杂, 难以建立这些几何量之间的“可视化”图形. 对于这些复杂的几何量, 期望借助于直观的“可视化”图形方法是很难发现其内在规律的, 因而很难求得问题的结果. 从思想方法上看, 通过“可视化”图形来求解几何问题会有很大的局限性. 即使是科技高度发达的今天, 人类也不知道哪些问题是“可视化”图形方法可以解决的, 哪些问题是“可视化”图形方法无法解决的. 还有, 面对具体的问题, 应该如何进行平移, 旋转, 相似等等的变换? 如何引入辅助线或者辅助面? 欧氏几何学并没有给出统一的方法, 通常都是凭经验来解决问题, 很多情况下都是一题一策, 无法形成统一的思想方法和解题策略.
根据以上的观点, 我提出如下的猜想.
猜想: 采用“可视化”图形方法不可能得到四面体的重心与内心之间的距离公式.
如果以上猜想能够被证实, 或许人们需要重新审视克莱因的几何分类方法.

作者: 宇宙无理数 时间: 2023-2-16 11:26
好消息, 汇心几何学出中文版了, 中文9版的下载地址为:
https://www.researchgate.net/profile/Daiyuan-Zhang
我刚刚下载, 学习中…….

英文版(v9)还是原来arXiv的下载地址.

作者: 宇宙无理数 时间: 2023-7-8 16:08
今天把这篇文章做了一个简单的修改!

作者: 宇宙无理数 时间: 2024-5-5 11:22
好久没上arXiv了, 这两天假期去看了看, 发现汇心几何学已经更新到第11版了.

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