此题立个小擂台，望大家踊跃参赛

费尔马1

不定方程4X^5+3Y^6=2Z^7
其中一个答案是:
X=2^32*3^35*ab[(a^5+b^5 ) /2]^36*[(a^5－b^5 ) /2]^14
Y=2^27*3^29*[(a^5+b^5 ) /2]^30*[(a^5－b^5 ) /2]^12
Z=2^23*3^25*[(a^5+b^5) /2]^26*[(a^5－b^5) /2]^10
其中，a、b为正整数，a＞b，a、b同奇或同偶。
仿照上面的答案形式，解下面的题:
解不定方程，求正整数解集通式 :
15753X^13871+23785Y^38743=12383Z^78269
此题立个小擂台

yangchuanju

请解释一下X=2^32*3^35*ab[(a^5+b^5 ) /2]^36*[(a^5－b^5 ) /2]^14究竟是什么？
是X=2^32*3^35*a*b*[(a^5+b^5 ) /2]^36*[(a^5－b^5 ) /2]^14
还是X=2^32*3^35*[(a^5+b^5 ) /2]^36*[(a^5－b^5 ) /2]^14？

答案中的a和b应该是老师已经求得的确切正整数，只是暂时不宜公开；还是参变数？

费尔马1

yangchuanju 发表于 2021-11-18 08:49
请解释一下X=2^32*3^35*ab[(a^5+b^5 ) /2]^36*[(a^5－b^5 ) /2]^14究竟是什么？
是X=2^32*3^35*a*b*[(a^5+ ...

是X=2^32 * 3^35 * a * b * [(a^5+b^5 ) /2]^36 * [(a^5－b^5 ) /2]^14
其中，a、b是参数，且要么同为偶数，要么同为奇数

yangchuanju

费尔马1 发表于 2021-11-18 09:29
是X=2^32 * 3^35 * a * b * [(a^5+b^5 ) /2]^36 * [(a^5－b^5 ) /2]^14
其中，a、b是参数，且要么同为偶 ...

还不对！

X=2^32*3^35*a*b*[(a^5+b^5 ) /2]^36*[(a^5－b^5 ) /2]^14
X^5=2^160*3^175*a*b*[(a^5+b^5) /2]^180*[(a^5-b^5) /2]^70
Y=2^27*3^29*[(a^5+b^5 ) /2]^30*[(a^5－b^5 ) /2]^12
Y^6=2^162*3^174*[(a^5+b^5) /2]^180*[(a^5－b^5 ) /2]^72
Z=2^23*3^25*[(a^5+b^5) /2]^26*[(a^5－b^5) /2]^10
Z^7=2^161*3^175*[(a^5+b^5) /2]^182*[(a^5－b^5) /2]^70

4X^5=2^162*3^175*a*b*[(a^5+b^5) /2]^180*[(a^5--b^5) /2]^70——（1）
3Y^6=2^162*3^175*[(a^5+b^5) /2]^180*[(a^5－b^5) /2]^72——（2）
2Z^7=2^162*3^175*[(a^5+b^5) /2]^182*[(a^5－b^5) /2]^70——（3）
令2^162*3^175*[(a^5+b^5) /2]^180*[(a^5--b^5) /2]^70=K
则（1）+（2）=K*{a*b+[(a^5-b^5)/2]^2}=K*{1+a^10/4-a^5*b^5/2+b^10/4}
（3）=K*[(a^5+b^5) /2]^2=K*[a^10/4+a^5*b^5/2+b^10/4]
如果a*b-a^5*b^5/2=a^5*b^5/2, a^5*b^5=a*b
则（1）+（2）=（3）

题目中的X应是
X=2^32*3^35*a^5*b^5*[(a^5+b^5 ) /2]^36*[(a^5－b^5 ) /2]^14

费尔马1

yangchuanju 发表于 2021-11-18 09:58
还不对！

X=2^32*3^35*a*b*[(a^5+b^5 ) /2]^36*[(a^5－b^5 ) /2]^14

①X=2^32*3^35*a*b*[(a^5+b^5 ) /2]^36*[(a^5－b^5 ) /2]^14
②X^5=2^160*3^175*a*b*[(a^5+b^5) /2]^180*[(a^5-b^5) /2]^70
在②式中，*a*b*处应当是*a^5*b^5*

yangchuanju

4楼数据有误，重发
X=2^32*3^35*a*b*[(a^5+b^5 ) /2]^36*[(a^5－b^5 ) /2]^14
X^5=2^160*3^175*a^5*b^5*[(a^5+b^5) /2]^180*[(a^5-b^5) /2]^70
Y=2^27*3^29*[(a^5+b^5 ) /2]^30*[(a^5－b^5 ) /2]^12
Y^6=2^162*3^174*[(a^5+b^5) /2]^180*[(a^5－b^5 ) /2]^72
Z=2^23*3^25*[(a^5+b^5) /2]^26*[(a^5－b^5) /2]^10
Z^7=2^161*3^175*[(a^5+b^5) /2]^182*[(a^5－b^5) /2]^70

4X^5=2^162*3^175*a^5*b^5*[(a^5+b^5) /2]^180*[(a^5--b^5) /2]^70——（1）
3Y^6=2^162*3^175*[(a^5+b^5) /2]^180*[(a^5－b^5) /2]^72——（2）
2Z^7=2^162*3^175*[(a^5+b^5) /2]^182*[(a^5－b^5) /2]^70——（3）
令2^162*3^175*[(a^5+b^5) /2]^180*[(a^5--b^5) /2]^70=K
则（1）+（2）=K*{a*b+[(a^5-b^5)/2]^2}=K*{a^5*b^5+a^10/4-a^5*b^5/2+b^10/4}
（3）=K*[(a^5+b^5) /2]^2=K*[a^10/4+a^5*b^5/2+b^10/4]
a^5*b^5-a^5*b^5/2=a^5*b^5/2,
则（1）+（2）=（3）

题目已核准，下一步如何解，再探讨！

费尔马1

yangchuanju 发表于 2021-11-18 09:58
还不对！

X=2^32*3^35*a*b*[(a^5+b^5 ) /2]^36*[(a^5－b^5 ) /2]^14

感谢杨老师关注！
学生的这类题目，几年来从没有人关注啊！您是第一个关注的人，所以，学生很是感激。

费尔马1

以学生看来，此法去掉系数，就可以证明费马大定理！因为这是针对二项和方程的一种通法，即所有的二项和不定方程(比尔方程)都可以套用这个数学模型。

yangchuanju

这样的题是有难度的 
1楼  费尔马  发表于 2021-10-31 20:23
解不定方程:2X^12+3Y^13=5Z^14
其中一个答案是:
X=3^77a^7m^14
Y=3^71m^13
Z=3^66c^6m^12
其中，m=5c^84－2a^84
a、c为正整数，且满足m＞0

验证：
X=3^77a^7m^14
X^12=3^924*a^84*m^168
Y=3^71m^13
Y^13=3^923*m^169
Z=3^66c^6m^12
Z^14=3^924*c^84*m^168
2X^12+3Y^13=2*3^924*a^84*m^168+3^924*m^169=3^924*m^168*(2*a^84+m)
因为  m=5c^84－2a^84
5Z^14=5*3^924*c^84*m^168=3^924*m^168*(5*c^84)=3^924*m^168*(2*a^84+m)
2X^12+3Y^13=5z^14

如何仿上题解下面的不定方程，求出其正整数解？
解不定方程:8X^14+3Y^15=12Z^16

yangchuanju

好题
1楼  费尔马  发表于 2021-10-31 20:51
解不定方程:X^12+Y^13=Z^14
其中一个答案是:
X=[(a^13+b^13)/2]^78 * [(a^13－b^13)/2]^76
Y=ab[(a^13+b^13)/2]^72 * [(a^13－b^13)/2]^70
Z=[(a^13+b^13)/2]^67 * [(a^13－b^13)/2]^65
其中，a、b同为奇数或同为偶数，a＞b

验证：
X=[(a^13+b^13)/2]^78 * [(a^13－b^13)/2]^76
X^12=[(a^13+b^13)/2]^936 * [(a^13－b^13)/2]^912
Y=ab[(a^13+b^13)/2]^72 * [(a^13－b^13)/2]^70
Y^13=a^13*b^13*[(a^13+b^13)/2]^936 * [(a^13－b^13)/2]^910
Z=[(a^13+b^13)/2]^67 * [(a^13－b^13)/2]^65
Z^14=[(a^13+b^13)/2]^938 * [(a^13－b^13)/2]^910
X^12+Y^13=[(a^13+b^13)/2]^936 * [(a^13－b^13)/2]^910*{[(a^13－b^13)/2]^2+a^13*b^13}
=[(a^13+b^13)/2]^936 * [(a^13－b^13)/2]^910*{a^26/4-2*a^13*b^13/4+b^26/4+a^13*b^13}
=[(a^13+b^13)/2]^936 * [(a^13－b^13)/2]^910*{a^26/4+a^13*b^13/2+b^26/4}
Z^14=[(a^13+b^13)/2]^936 * [(a^13－b^13)/2]^910*[(a^13+b^13)/2]^2
=[(a^13+b^13)/2]^936 * [(a^13－b^13)/2]^910*[a^26/4+a^13*b^13/2+b^26/4]
X^12+Y^13=Z^14

如何仿上题解下面的不定方程，求出其正整数解？
解不定方程:X^14+Y^15=Z^16