是否存在不全相等的正整数 a,b,c ，使得 3abc／(ab+bc+ca) 是整数？

波斯猫猫

是否存在不全相等的正整数a、b、c？使得3abc/(ab+bc+ca)是整数。

uk702

一个反例：a = 1, b = 3, c = 6，3 abc = 3*1*3*6 = 54， ab + bc + ca = 3 + 18 + 6 = 27

个人推测可能有无穷解。

kanyikan

把3/n拆分成单位分数之和1/a+1/b+1/c即可。

天山草

不同于 2# 楼的另一个解：
因为 a, b, c 不全相等，令 k 是整数，a=5k,  b=10k,  c=a=5k,  则有 3abc/(ab+bc+ca)=6k  是整数。

王守恩

1，是否存在不全相等的正整数a、b、c？使得3abc/(ab+bc+ca)是整数
   答案：只有正整数1无解。   理由：请看3楼。谢谢kanyikan！
Table[FindInstance[{(3 a b c )/(a b + b c + c a ) == n,  0 < a < b < c}, {a, b , c}, Integers], {n, 1, 19}]
{{}, {{a -> 1, b -> 3, c -> 6}}, {{a -> 2, b -> 3, c -> 6}}, {{a -> 3, b -> 4, c -> 6}},
  {{a -> 3, b -> 5, c -> 15}}, {{a -> 4, b -> 6, c -> 12}}, {{a -> 4, b -> 6, c -> 84}},
  {{a -> 6, b -> 8, c -> 12}}, {{a -> 5, b -> 8, c -> 120}}, {{a -> 6, b -> 8, c -> 120}},
  {{a -> 4, b -> 45, c -> 1980}}, {{a -> 10, b -> 12,  c -> 15}}, {{a -> 5, b -> 33, c -> 2145}},
  {{a -> 5, b -> 71,  c -> 4970}}, {{a -> 9, b -> 12, c -> 180}}, {{a -> 10, b -> 12, c -> 240}},
  {{a -> 6, b -> 103, c -> 10506}}, {{a -> 11, b -> 14, c -> 231}}, {{a -> 7, b -> 67, c -> 8911}}}

2，是否存在不全相等的正整数a、b？使得3ab/(a+b)是整数
   答案： 无解的正整数有“无穷”个。  理由：请看帖子《单位分数猜想》。

天山草

使用 FindInstance 指令只能得到一部分解。这个指令换成 Reduce 或者 Solve 可得到全部解。
当原式的值等于 1 时无解。原式的值等于 2、3、4、.....、19 且 a、b、c 互不相等时 a、b、c 的全部解如下：

1. 
   
2. Clear["Global`*"];
   
3. Table[FindInstance[{(3 a b c)/(a b + b c + c a) == n,
   
4.    0 < a < b < c}, {a, b, c}, Integers], {n, 1, 19}]
   
5. Table[Reduce[{(3 a b c)/(a b + b c + c a) == n, 0 < a < b < c}, {a, b,
   
6.     c}, Integers], {n, 1, 19}]
   
7. 
   
8. Out[208]= {{},{{a->1,b->3,c->6}},{{a->2,b->3,c->6}},{{a->3,b->4,c->6}},{{a->3,b->5,c->15}},{{a->4,b->6,c->12}},{{a->4,b->6,c->84}},{{a->6,b->8,c->12}},{{a->5,b->8,c->120}},{{a->6,b->8,c->120}},{{a->4,b->45,c->1980}},{{a->10,b->12,c->15}},{{a->5,b->33,c->2145}},{{a->5,b->71,c->4970}},{{a->9,b->12,c->180}},{{a->10,b->12,c->240}},{{a->6,b->103,c->10506}},{{a->11,b->14,c->231}},{{a->7,b->67,c->8911}}}
   
9. 
   
10. Out[209]= {False,a==1\[And]b==3\[And]c==6,a==2\[And]b==3\[And]c==6,(a==2\[And]b==5\[And]c==20)\[Or](a==2\[And]b==6\[And]c==12)\[Or](a==3\[And]b==4\[And]c==6),(a==2\[And]b==11\[And]c==110)\[Or](a==2\[And]b==12\[And]c==60)\[Or](a==2\[And]b==14\[And]c==35)\[Or](a==2\[And]b==15\[And]c==30)\[Or](a==3\[And]b==4\[And]c==60)\[Or](a==3\[And]b==5\[And]c==15)\[Or](a==3\[And]b==6\[And]c==10),(a==3\[And]b==7\[And]c==42)\[Or](a==3\[And]b==8\[And]c==24)\[Or](a==3\[And]b==9\[And]c==18)\[Or](a==3\[And]b==10\[And]c==15)\[Or](a==4\[And]b==5\[And]c==20)\[Or](a==4\[And]b==6\[And]c==12),(a==3\[And]b==11\[And]c==231)\[Or](a==3\[And]b==12\[And]c==84)\[Or](a==3\[And]b==14\[And]c==42)\[Or](a==3\[And]b==15\[And]c==35)\[Or](a==4\[And]b==6\[And]c==84)\[Or](a==4\[And]b==7\[And]c==28),(a==3\[And]b==25\[And]c==600)\[Or](a==3\[And]b==26\[And]c==312)\[Or](a==3\[And]b==27\[And]c==216)\[Or](a==3\[And]b==28\[And]c==168)\[Or](a==3\[And]b==30\[And]c==120)\[Or](a==3\[And]b==32\[And]c==96)\[Or](a==3\[And]b==33\[And]c==88)\[Or](a==3\[And]b==36\[And]c==72)\[Or](a==3\[And]b==40\[And]c==60)\[Or](a==3\[And]b==42\[And]c==56)\[Or](a==4\[And]b==9\[And]c==72)\[Or](a==4\[And]b==10\[And]c==40)\[Or](a==4\[And]b==12\[And]c==24)\[Or](a==5\[And]b==6\[And]c==120)\[Or](a==5\[And]b==8\[And]c==20)\[Or](a==6\[And]b==8\[And]c==12),(a==4\[And]b==13\[And]c==156)\[Or](a==4\[And]b==14\[And]c==84)\[Or](a==4\[And]b==15\[And]c==60)\[Or](a==4\[And]b==16\[And]c==48)\[Or](a==4\[And]b==18\[And]c==36)\[Or](a==4\[And]b==20\[And]c==30)\[Or](a==4\[And]b==21\[And]c==28)\[Or](a==5\[And]b==8\[And]c==120)\[Or](a==5\[And]b==9\[And]c==45)\[Or](a==5\[And]b==10\[And]c==30)\[Or](a==5\[And]b==12\[And]c==20)\[Or](a==6\[And]b==7\[And]c==42)\[Or](a==6\[And]b==8\[And]c==24)\[Or](a==6\[And]b==9\[And]c==18)\[Or](a==6\[And]b==10\[And]c==15),(a==4\[And]b==21\[And]c==420)\[Or](a==4\[And]b==22\[And]c==220)\[Or](a==4\[And]b==24\[And]c==120)\[Or](a==4\[And]b==25\[And]c==100)\[Or](a==4\[And]b==28\[And]c==70)\[Or](a==4\[And]b==30\[And]c==60)\[Or](a==4\[And]b==36\[And]c==45)\[Or](a==5\[And]b==11\[And]c==110)\[Or](a==5\[And]b==12\[And]c==60)\[Or](a==5\[And]b==14\[And]c==35)\[Or](a==5\[And]b==15\[And]c==30)\[Or](a==6\[And]b==8\[And]c==120)\[Or](a==6\[And]b==9\[And]c==45)\[Or](a==6\[And]b==10\[And]c==30)\[Or](a==6\[And]b==12\[And]c==20),(a==4\[And]b==45\[And]c==1980)\[Or](a==4\[And]b==46\[And]c==1012)\[Or](a==4\[And]b==48\[And]c==528)\[Or](a==4\[And]b==52\[And]c==286)\[Or](a==4\[And]b==55\[And]c==220)\[Or](a==4\[And]b==60\[And]c==165)\[Or](a==4\[And]b==66\[And]c==132)\[Or](a==5\[And]b==14\[And]c==770)\[Or](a==5\[And]b==15\[And]c==165)\[Or](a==5\[And]b==20\[And]c==44)\[Or](a==6\[And]b==10\[And]c==165)\[Or](a==6\[And]b==11\[And]c==66)\[Or](a==6\[And]b==12\[And]c==44),(a==5\[And]b==21\[And]c==420)\[Or](a==5\[And]b==22\[And]c==220)\[Or](a==5\[And]b==24\[And]c==120)\[Or](a==5\[And]b==25\[And]c==100)\[Or](a==5\[And]b==28\[And]c==70)\[Or](a==5\[And]b==30\[And]c==60)\[Or](a==5\[And]b==36\[And]c==45)\[Or](a==6\[And]b==13\[And]c==156)\[Or](a==6\[And]b==14\[And]c==84)\[Or](a==6\[And]b==15\[And]c==60)\[Or](a==6\[And]b==16\[And]c==48)\[Or](a==6\[And]b==18\[And]c==36)\[Or](a==6\[And]b==20\[And]c==30)\[Or](a==6\[And]b==21\[And]c==28)\[Or](a==7\[And]b==10\[And]c==140)\[Or](a==7\[And]b==12\[And]c==42)\[Or](a==7\[And]b==14\[And]c==28)\[Or](a==8\[And]b==9\[And]c==72)\[Or](a==8\[And]b==10\[And]c==40)\[Or](a==8\[And]b==12\[And]c==24)\[Or](a==9\[And]b==12\[And]c==18)\[Or](a==10\[And]b==12\[And]c==15),(a==5\[And]b==33\[And]c==2145)\[Or](a==5\[And]b==35\[And]c==455)\[Or](a==5\[And]b==39\[And]c==195)\[Or](a==5\[And]b==45\[And]c==117)\[Or](a==6\[And]b==16\[And]c==624)\[Or](a==6\[And]b==18\[And]c==117)\[Or](a==6\[And]b==26\[And]c==39)\[Or](a==7\[And]b==13\[And]c==91),(a==5\[And]b==71\[And]c==4970)\[Or](a==5\[And]b==72\[And]c==2520)\[Or](a==5\[And]b==74\[And]c==1295)\[Or](a==5\[And]b==75\[And]c==1050)\[Or](a==5\[And]b==77\[And]c==770)\[Or](a==5\[And]b==80\[And]c==560)\[Or](a==5\[And]b==84\[And]c==420)\[Or](a==5\[And]b==90\[And]c==315)\[Or](a==5\[And]b==95\[And]c==266)\[Or](a==5\[And]b==98\[And]c==245)\[Or](a==5\[And]b==105\[And]c==210)\[Or](a==5\[And]b==119\[And]c==170)\[Or](a==5\[And]b==120\[And]c==168)\[Or](a==6\[And]b==22\[And]c==462)\[Or](a==6\[And]b==24\[And]c==168)\[Or](a==6\[And]b==28\[And]c==84)\[Or](a==6\[And]b==30\[And]c==70)\[Or](a==7\[And]b==15\[And]c==210)\[Or](a==7\[And]b==16\[And]c==112)\[Or](a==7\[And]b==18\[And]c==63)\[Or](a==7\[And]b==21\[And]c==42)\[Or](a==8\[And]b==12\[And]c==168)\[Or](a==8\[And]b==14\[And]c==56)\[Or](a==8\[And]b==21\[And]c==24)\[Or](a==9\[And]b==10\[And]c==315)\[Or](a==9\[And]b==18\[And]c==21)\[Or](a==10\[And]b==15\[And]c==21),(a==6\[And]b==31\[And]c==930)\[Or](a==6\[And]b==32\[And]c==480)\[Or](a==6\[And]b==33\[And]c==330)\[Or](a==6\[And]b==34\[And]c==255)\[Or](a==6\[And]b==35\[And]c==210)\[Or](a==6\[And]b==36\[And]c==180)\[Or](a==6\[And]b==39\[And]c==130)\[Or](a==6\[And]b==40\[And]c==120)\[Or](a==6\[And]b==42\[And]c==105)\[Or](a==6\[And]b==45\[And]c==90)\[Or](a==6\[And]b==48\[And]c==80)\[Or](a==6\[And]b==50\[And]c==75)\[Or](a==6\[And]b==55\[And]c==66)\[Or](a==7\[And]b==18\[And]c==630)\[Or](a==7\[And]b==20\[And]c==140)\[Or](a==7\[And]b==21\[And]c==105)\[Or](a==7\[And]b==30\[And]c==42)\[Or](a==8\[And]b==14\[And]c==280)\[Or](a==8\[And]b==15\[And]c==120)\[Or](a==8\[And]b==16\[And]c==80)\[Or](a==8\[And]b==20\[And]c==40)\[Or](a==8\[And]b==24\[And]c==30)\[Or](a==9\[And]b==12\[And]c==180)\[Or](a==9\[And]b==15\[And]c==45)\[Or](a==9\[And]b==18\[And]c==30)\[Or](a==10\[And]b==11\[And]c==110)\[Or](a==10\[And]b==12\[And]c==60)\[Or](a==10\[And]b==14\[And]c==35)\[Or](a==10\[And]b==15\[And]c==30)\[Or](a==12\[And]b==15\[And]c==20),(a==6\[And]b==49\[And]c==2352)\[Or](a==6\[And]b==50\[And]c==1200)\[Or](a==6\[And]b==51\[And]c==816)\[Or](a==6\[And]b==52\[And]c==624)\[Or](a==6\[And]b==54\[And]c==432)\[Or](a==6\[And]b==56\[And]c==336)\[Or](a==6\[And]b==57\[And]c==304)\[Or](a==6\[And]b==60\[And]c==240)\[Or](a==6\[And]b==64\[And]c==192)\[Or](a==6\[And]b==66\[And]c==176)\[Or](a==6\[And]b==72\[And]c==144)\[Or](a==6\[And]b==80\[And]c==120)\[Or](a==6\[And]b==84\[And]c==112)\[Or](a==7\[And]b==24\[And]c==336)\[Or](a==7\[And]b==28\[And]c==112)\[Or](a==7\[And]b==42\[And]c==48)\[Or](a==8\[And]b==17\[And]c==272)\[Or](a==8\[And]b==18\[And]c==144)\[Or](a==8\[And]b==20\[And]c==80)\[Or](a==8\[And]b==24\[And]c==48)\[Or](a==9\[And]b==16\[And]c==72)\[Or](a==9\[And]b==18\[And]c==48)\[Or](a==10\[And]b==12\[And]c==240)\[Or](a==10\[And]b==15\[And]c==48)\[Or](a==10\[And]b==16\[And]c==40)\[Or](a==12\[And]b==16\[And]c==24),(a==6\[And]b==103\[And]c==10506)\[Or](a==6\[And]b==104\[And]c==5304)\[Or](a==6\[And]b==105\[And]c==3570)\[Or](a==6\[And]b==106\[And]c==2703)\[Or](a==6\[And]b==108\[And]c==1836)\[Or](a==6\[And]b==111\[And]c==1258)\[Or](a==6\[And]b==114\[And]c==969)\[Or](a==6\[And]b==119\[And]c==714)\[Or](a==6\[And]b==120\[And]c==680)\[Or](a==6\[And]b==136\[And]c==408)\[Or](a==6\[And]b==138\[And]c==391)\[Or](a==6\[And]b==153\[And]c==306)\[Or](a==6\[And]b==170\[And]c==255)\[Or](a==7\[And]b==30\[And]c==3570)\[Or](a==7\[And]b==34\[And]c==238)\[Or](a==7\[And]b==42\[And]c==102)\[Or](a==8\[And]b==20\[And]c==680)\[Or](a==8\[And]b==24\[And]c==102)\[Or](a==9\[And]b==17\[And]c==153)\[Or](a==9\[And]b==18\[And]c==102)\[Or](a==10\[And]b==15\[And]c==102),(a==7\[And]b==43\[And]c==1806)\[Or](a==7\[And]b==44\[And]c==924)\[Or](a==7\[And]b==45\[And]c==630)\[Or](a==7\[And]b==46\[And]c==483)\[Or](a==7\[And]b==48\[And]c==336)\[Or](a==7\[And]b==49\[And]c==294)\[Or](a==7\[And]b==51\[And]c==238)\[Or](a==7\[And]b==54\[And]c==189)\[Or](a==7\[And]b==56\[And]c==168)\[Or](a==7\[And]b==60\[And]c==140)\[Or](a==7\[And]b==63\[And]c==126)\[Or](a==7\[And]b==70\[And]c==105)\[Or](a==7\[And]b==78\[And]c==91)\[Or](a==8\[And]b==25\[And]c==600)\[Or](a==8\[And]b==26\[And]c==312)\[Or](a==8\[And]b==27\[And]c==216)\[Or](a==8\[And]b==28\[And]c==168)\[Or](a==8\[And]b==30\[And]c==120)\[Or](a==8\[And]b==32\[And]c==96)\[Or](a==8\[And]b==33\[And]c==88)\[Or](a==8\[And]b==36\[And]c==72)\[Or](a==8\[And]b==40\[And]c==60)\[Or](a==8\[And]b==42\[And]c==56)\[Or](a==9\[And]b==19\[And]c==342)\[Or](a==9\[And]b==20\[And]c==180)\[Or](a==9\[And]b==21\[And]c==126)\[Or](a==9\[And]b==22\[And]c==99)\[Or](a==9\[And]b==24\[And]c==72)\[Or](a==9\[And]b==27\[And]c==54)\[Or](a==9\[And]b==30\[And]c==45)\[Or](a==10\[And]b==16\[And]c==240)\[Or](a==10\[And]b==18\[And]c==90)\[Or](a==10\[And]b==20\[And]c==60)\[Or](a==10\[And]b==24\[And]c==40)\[Or](a==11\[And]b==14\[And]c==231)\[Or](a==11\[And]b==15\[And]c==110)\[Or](a==11\[And]b==22\[And]c==33)\[Or](a==12\[And]b==13\[And]c==156)\[Or](a==12\[And]b==14\[And]c==84)\[Or](a==12\[And]b==15\[And]c==60)\[Or](a==12\[And]b==16\[And]c==48)\[Or](a==12\[And]b==18\[And]c==36)\[Or](a==12\[And]b==20\[And]c==30)\[Or](a==12\[And]b==21\[And]c==28)\[Or](a==14\[And]b==15\[And]c==35),(a==7\[And]b==67\[And]c==8911)\[Or](a==7\[And]b==70\[And]c==1330)\[Or](a==7\[And]b==76\[And]c==532)\[Or](a==7\[And]b==91\[And]c==247)\[Or](a==8\[And]b==32\[And]c==608)\[Or](a==8\[And]b==38\[And]c==152)\[Or](a==10\[And]b==19\[And]c==190)\[Or](a==11\[And]b==15\[And]c==3135)}

复制代码

以下是使用 Solve 得到的全部解。
当原式的值等于 1 时无解。原式的值等于 2、3、4、.....、19 且 a、b、c 互不相等时 a、b、c 的全部解如下：

1. In[238]:= Clear["Global`*"];
   
2. Solve[{(3 a b c)/(a b + b c + c a) == n, 0 < a < b < c,
   
3.   1 <= n <= 19}, {a, b, c, n}, Integers]
   
4. 
   
5. Out[239]= 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天山草

根据 3# 楼的提示，本问题就是给定一个正整数 n>=2，找到三个不同的埃及分数 1/a、1/b、1/c，使得它们的和等于  3/n



对于两个未知数 x、y 有以上结论。现在需要知道，对于三个未知数 x、y、z  结论是啥？

波斯猫猫

问题：是否存在不全相等的正整数a、b、c？使得3abc/(ab+bc+ca)是整数。

标准答案之一：
答：存在。如：a = 1, b = 3, c = 6，使得3abc／(ab+bc+ca)=2。

數海泛舟

陸老師，蔡老師，好，各位好。多交流，數學是值得開發的寶藏，我還有很多知識不知道，不會，不懂，