不定方程组：abc=d∧3，ab+bc+ca=3d∧2是否有正整数解（平凡解a=b=c=d除外）？

波斯猫猫

不定方程组：abc=d^3，ab+bc+ca=3d^2是否有正整数解（平凡解a=b=c=d除外）？

uk702

\( ab+bc+ca = 3d^2 \implies \frac{1}{c} + \frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{3}{d} = \frac{3}{\sqrt[3]{abc}} \)

令 x=a, y=b, z =c，故命题相当于：

已知  x,y,z > 0， 求证 \( \frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=\frac{3}{\sqrt[3]{xyz}} \) 只有解 x=y=z 。

由均值不等式知其显然。