矩阵指数函数 e^(A+B) = e^A e^B 为什么要以矩阵 AB = BA 为前提呢？

wufaxian

\(e^{A+B}=e^Ae^{B}\)为什么要以矩阵AB=BA为前提呢？对等号两边同时做泰勒展开确实会出现AB的情况，但是没有出现BA的情况，为什么要以矩阵AB=BA为前提？是因为满足\(e^Ae^{B}\)= \(e^Be^{A}\)么？

elim

首先定义 \(e^A = \displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}\frac{A^n}{n!}.\quad(A\,为方阵,\,A^0=I)\)
\(\small\,AB=BA\,\)时由归纳法得\(\small\,(A+B)^n=\displaystyle\sum_{k=0}^n\binom{n}{k}A^{n-k}B^k,\; n=0,1,2,\ldots\)
例如 \(\small(A+B)^2=A^2+AB+BA+B^2=A^2+2AB+B^2\) 等等. 于是
\(e^Ae^B={\small\displaystyle\sum_{k=0}^{\infty}\frac{A^k}{k!}\sum_{m=0}^{\infty}\frac{B^m}{m!}\overset{*}{=}\sum_{n=0}^{\infty}\sum_{m+k=n}\frac{A^m}{m!}\frac{B^k}{k!}=\sum_{n=0}^\infty\frac{(A+B)^n}{n!}=}e^{A+B} \)
\(\textbf{注:}\overset{*}{=}\) 用到了所涉级数的可重排性(由所涉矩阵级数的绝对收敛性保证)
以下论述是错的（\(\,e^{A+B}=e^Ae^B\,\not\hspace{-9px}\implies e^{t(A+B)}=e^{tA}e^{tB}\)）：

现在来证明其逆命题：设\(\,e^{A+B}=e^Ae^B,\,\)则\(e^{t(A+B)}=e^{tA}e^{tB}\)
对\(t\)求导得\(\small (A+B)e^{t(A+B)}=Ae^{tA}e^{tB}+e^{tA}Be^{tB},\)右乘\(\small\,e^{-tB}\):\(\small Be^{tA}=e^{tA}B\)
再次对\(t\)求导后令\(t=0\) 即得\(\small BA=AB.\)

wufaxian

elim 发表于 2021-11-18 07:02
首先定义 \(e^A = \displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}\frac{A^n}{n!}.\quad(A\,为方阵,\,A^0=I)\)
\(\small ...

谢谢详细的讲解。看后有三个问题请教：
1、
\(\binom{n}{k}\) 这个符号在表达式中起的作用是什么？我明白后面是对和的n次方展开。但我对是这个符号+上前面的求和符合 表达的意思还是没有很准确的理解。





2、
星等号     在这里的作用还不是很理解。代表等号右侧的级数相乘必须按照某种规律重拍？特别是截图中第二个等号。如何将级数相乘变成了和的n次方的级数是什么原理？


3、
指数当中的虚数i是怎么产生的？

elim

\(\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}=C_n^k\)
\((A+B)^k=\small\sum_{k=0}^n\binom{n}{k}A^{n-k}B^k\) 等号左边的\(k\)应改为\(n\),  \(i\) 应为\(t\) 抱歉这些打字错误．我已在前帖中订正了．
关于级数的重排概念及在本问题论证中的作用，求和号\(\sum\) 的意义和用法等问题要用很大篇幅才能说清楚．通常这些内容是在接触到矩阵幂之前就引入的．建议楼主看看微积分中的级数部分，然后比对这个主题下的讨论．稍作准备后継续我们的讨论．

谢谢楼主：很好的问题

elim

2 楼的真正问题是 \(e^{A+B}=e^Ae^B\implies e^{t(A+B)}=e^{tA}e^{tB}\quad(\forall t\in [0,1])\) 需要证明。

wufaxian

elim 发表于 2021-11-19 10:11
2 楼的真正问题是 \(e^{A+B}=e^Ae^B\implies e^{t(A+B)}=e^{tA}e^{tB}\quad(\forall t\in [0,1])\) 需要证 ...

这个问题外延有点广。我先消化消化。不知2楼4楼5楼的回复主要涉及哪些数学知识。

elim

二楼证明了\(AB=BA\implies e^{A+B}=e^Ae^B\)
但这个命题的逆不成立．