n^2+a^2+b^2=C^2；通式全部解公式

费尔马1

n^2+a^2+b^2=C^2；通式全部解公式
n=n，
a=m，
b=[1/(2K)](m^2-K^2+n^2)
C=b+k；
其中m>n，①K是m^2的约数，n=m-k。②若n^2+m^2=x^2时，X^2的约数等于k。你让杨传举与王守恩二位老师看看总通式还少什么条件？

费尔马1

本主题公式是程中永研究出来的，请老师们多多指教。谢谢老师！

yangchuanju

(b+k)^2=b^2+2bk+k^2
b^2=1/4k^2*(m^2-k^2+n^2)^2=m^4/4k^2+k^4/4k^2+n^4/*4k^2-2m^2*k^2/4k^2-2n^2*k^2/4k^4+2m^2*n^2/4k^2
=m^4/4k^2+k^/4+n^4/*4k^2-m^2/2-n^2*k^2/2+m^2*n^2/2k^2
2bk=2*1/2k*(m^2-k^2+n^2)*k=(m^2-k^2+n^2)
(b+k)^2=b^2+2bk+k^2=m^4/4k^2+k^/4+n^4/*4k^2-m^2/2-n^2*k^2/2+m^2*n^2/2k^2 + (m^2-k^2+n^2)  + k^2
=m^4/4k^2+k^/4+n^4/*4k^2-m^2/2-n^2*k^2/2+m^2*n^2/2k^2 + m^2+n^2

n^2+a^2+b^2=n^2+m^2+b^2=m^2+n^2 + m^4/4k^2+k^/4+n^4/*4k^2-m^2/2-n^2*k^2/2+m^2*n^2/2k^2
=(b+k)^2
n^2+a^2+b^2=c^2，四元毕达哥拉斯数组通式得证。

按照本通式，四元毕达哥拉斯数组n^2+a^2+b^2=c^2之中，有两个正整数n和a可任意给定，再给定一个正整数k，只要b=[1/(2K)](m^2-K^2+n^2)是一个整数，则这一组四元数组就找到了。
什么时候b是整数，恐怕要用的您的条件“m>n，①K是m^2的约数，n=m-k。②若n^2+m^2=x^2时，X^2的约数等于k”了。
（这里只是验证了一下左右是否相等的问题，对b是整数的条件未涉及，未论证。）

若令n=0，则b=1/2k*(m^2-k^2)=m^2/2k-k/2，c=b+k=m^2/2k+k/2；
b^2=m^4/4k^2+k^2/4-2*m^2/2k*k/2=m^4/4k^2+k^2/4-m^2/2
c^2=m^4/4k^2+k^2/4+2*m^2/2k*k/2=m^4/4k^2+k^2/4+m^2/2
a^2+b^2=m^2+m^4/4k^2+k^2/4-m^2/2=m^4/4k^2+k^2/4+m^2/2

a^2+b^2=c^2，变成三元勾股数通式。

yangchuanju

请问，程中战老师，您弟弟程中永总是提出一些高深的数字问题，为什么他从未露面，都是您一个人忙前忙后？

费尔马1

他说他不想登录论坛，但他有时候打开论坛看看，有成果就让我给发在论坛里，我们兄弟俩都是打工的，也没有时间研究学习。
我认为我弟弟的头脑很聪明啊！例如，他的成果有，程氏三角形的最总公式，高次积和双重数组，三次幂三项和不定方程的通解公式，差分法解数列通项公式等等，他的研究成果我不会的，我也懒得向他学习，我说，我们打工赚钱糊口，不要去研究数学题，研究那个没有用啊！
注，程中永的程氏三角形最总公式可以解任意次幂的程氏三角形的求和公式即通项公式，以学生我看来，当今一流的数学家也不能参透这个公式！这就是不怕千招会就怕一招熟，灵感出在谁是上天注定，无缘莫强求，强求必落空。

费尔马1

yangchuanju 发表于 2021-11-28 15:57
请问，程中战老师，您弟弟程中永总是提出一些高深的数字问题，为什么他从未露面，都是您一个人忙前忙后？

感谢杨老师审核并指点！老师您休息吧！别累着啊！哈哈

费尔马1

学生我研究的，《发牌游戏之解难于上青天》，《毕达哥斯拉游程》都题，都用到数列求通项公式，求和公式，关于正整数数列(任意次幂的)的求和公式，学生我已经研究透彻，利用这个知识可以解许多的有关的题目，……

creasson

一般地，方程：
\[x_1^2 + x_2^2 + ... + x_n^2 = {y^2}\]

的通解为：
\[\left\{ \begin{array}{l}
{x_1} = 2{u_1}t \\
{x_2} = 2{u_2}t \\
... \\
{x_{n - 1}} = 2{u_{n - 1}}t \\
{x_n} = (1 - u_1^2 - u_2^2 - ... - u_{n - 1}^2)t \\
y = (1 + u_1^2 + u_2^2 + ... + u_{n - 1}^2)t \\
\end{array} \right.\]

yangchuanju

creasson 发表于 2021-11-28 21:13
一般地，方程：
\[x_1^2 + x_2^2 + ... + x_n^2 = {y^2}\]

非常感谢creasson老师提供该通式！
将通式改写一下，一般地，方程：
x1^2+x2^2+...+xn^2=y^2
的通解为：
x1=2*u1*t
x2=2*u2*t
…
xn_1=2*un_1*t
xn=(1-u1^2-u2^2-...-un_1^2)*t
y=(1+u1^2+u2^2+...+un_1^2)^t

式中x1、x2、……xn_1、xn中的1、2、……n_1、n都是x的下标；
u1、u2、……un_1、un中的1、2、……n_1、n都是u的下标；
为有所区别，将下标中的序号“n-1”改为“n_1”。

虽然在office软件中可将下标分别标明，但复制到本论坛中上下标完全丢失，故没有将下标一一标出。

对于三元，x1=2*u1*t，x2=(1-u1^2)*t，x1^2+x2^2=4*u1^2*t^2 + t^2-2*u1^2*t+u1^4*t^2=u1^4*t^2+2*u1^2*t+t^2=(u1^2*t+t)^2=[(u1^2+1)*t]^2；
y^2=[(1+u1^2)*t]^2*t^2=x1^2+x2^2

对于四元，x1=2*u1*t，x2=2*u2*t，x3=(1-u1-u2)*t，x1^2+x2^2+x3^3=4*u1^2*t^2+4*u2^2*t^2+[(1-u1^2-u2^2)*t]^2=[(1+u1^2+u2^^2)*t]^2，，，，，，
y^2=[(1+u1^2+u2^2)*t]^2*t^2=x1^2+x2^2+x3^2

初看通式极好，细看问题不少。虽然代数式左右相等，但是：
对于三元，如果u1和t都是正整数，x2便是负整数，不符合勾股数的要求；
同样，对于四元，如果u1、u2、t都是正整数，x1、x2也都是负数，也是不符合a^2+b^2+c^2=d^2中的a、b、c都是正整数或非负数的要求；
通式没有实用性。

费尔马1

其实，多项和勾股数的公式可以这样来解，c^2=a^2+b^2
然后再以斜边c为直角边，作一个三角形，得到一个四元勾股数公式，
再以这个三角形的斜边为直角边作一个三角形，又解出一个五元公式……
无限解下去，解可以得到n元的勾股数公式了。